टाइगर बीजगणित कैलकुलेटर
व्युत्पन्न
एक कार्य को गणितीय नियम के रूप में सोचें जो एक इनपुट मान को आउटपुट मान से संबंधित करता है। किसी समारोह का अवकलज यह मापता है कि जब इनपुट मान का एक छोटा परिवर्तन होता है, तो आउटपुट मान कैसे बदलता है। यह हमें वास्तविकता में किसी भी दिए गए बिंदु पर कार्य की तात्कालिक दर के परिवर्तन के बारे में बताता है।
इसे दृश्यमान करने के लिए, एक कार्य का एक ग्राफ रचना करें जो, उदाहरण के लिए, एक वस्तु के स्थान का प्रतिनिधित्व करता है। उस कार्य का अवकलज आपको किसी विशेष क्षण पर वस्तु की गति देगा। अवकलज सकारात्मक है, इसका मतलब है कि वस्तु आगे बढ़ रही है; यदि यह नकारात्मक है, तो वस्तु पिछले दिशा में जा रही है; और अगर यह शून्य है, तो वस्तु एक स्थिर स्थिति में है।
अवकलज हमें एक कार्य के ग्राफ के एक विशेष बिंदु पर स्पर्शरेखा की ढाल भी बता सकते हैं। यह ढलान उस विशेष बिंदु पर कार्य की बदलाव की दर का प्रतिनिधित्व करती है। विभिन्न बिंदुओं पर अवकलज की जांच करके, हम कार्य के समग्र व्यवहार में एक झांकी प्राप्त कर सकते हैं और महत्वपूर्ण विशेषताओं जैसे कि अधिकतम या न्यूनतम मानों की पहचान कर सकते हैं।
अवकलजों का विज्ञान, इंजीनियरिंग, और अर्थशास्त्र के विभिन्न क्षेत्रों में अनेक अनुप्रयोग हैं। वे गति को विश्लेषित करने, अनुकूलन समस्याओं को हल करने, परिवर्तन की दरों का मॉडल बनाने, विकास पैटर्न को समझने, और बहुत कुछ समझने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
सारांश में, अवकलज हमें कार्यों के बदलाव और व्यवहार का अध्ययन करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करते हैं। वे हमें परिवर्तन की दरों को मापने की अनुमति देते हैं और मात्राओं के बीच जटिल संबंधों का अन्वेषण करने में हमारी मदद करते हैं। अवकलज को समझना समाकलन में मौलिक है और अधिक उन्नत गणितीय अवधारणाओं के लिए नींव रखता है।
इसे दृश्यमान करने के लिए, एक कार्य का एक ग्राफ रचना करें जो, उदाहरण के लिए, एक वस्तु के स्थान का प्रतिनिधित्व करता है। उस कार्य का अवकलज आपको किसी विशेष क्षण पर वस्तु की गति देगा। अवकलज सकारात्मक है, इसका मतलब है कि वस्तु आगे बढ़ रही है; यदि यह नकारात्मक है, तो वस्तु पिछले दिशा में जा रही है; और अगर यह शून्य है, तो वस्तु एक स्थिर स्थिति में है।
अवकलज हमें एक कार्य के ग्राफ के एक विशेष बिंदु पर स्पर्शरेखा की ढाल भी बता सकते हैं। यह ढलान उस विशेष बिंदु पर कार्य की बदलाव की दर का प्रतिनिधित्व करती है। विभिन्न बिंदुओं पर अवकलज की जांच करके, हम कार्य के समग्र व्यवहार में एक झांकी प्राप्त कर सकते हैं और महत्वपूर्ण विशेषताओं जैसे कि अधिकतम या न्यूनतम मानों की पहचान कर सकते हैं।
अवकलजों का विज्ञान, इंजीनियरिंग, और अर्थशास्त्र के विभिन्न क्षेत्रों में अनेक अनुप्रयोग हैं। वे गति को विश्लेषित करने, अनुकूलन समस्याओं को हल करने, परिवर्तन की दरों का मॉडल बनाने, विकास पैटर्न को समझने, और बहुत कुछ समझने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
सारांश में, अवकलज हमें कार्यों के बदलाव और व्यवहार का अध्ययन करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करते हैं। वे हमें परिवर्तन की दरों को मापने की अनुमति देते हैं और मात्राओं के बीच जटिल संबंधों का अन्वेषण करने में हमारी मदद करते हैं। अवकलज को समझना समाकलन में मौलिक है और अधिक उन्नत गणितीय अवधारणाओं के लिए नींव रखता है।