Tiger Algebra-Rechner

Logarithmen beantworten die folgende Frage: „Mit welchem Exponenten muss eine bestimmte Zahl potenziert werden, damit das Ergebnis gleich einer anderen bestimmten Zahl ist?“ oder einfacher ausgedrückt: „Wieviel Mal müssen wir eine Zahl mit sich selbst multiplizieren, damit das Ergebnis gleich einer anderen bestimmten Zahl ist?“ Zum Beispiel: Mit welchem Exponenten müssen wir $$3$$ potenzieren, um $$81$$ zu erhalten, oder wieviel Mal müssen wir $$3$$ mit sich selbst multiplizieren, um $$81$$ zu erhalten? Die Antwort ist $$4$$, das heißt, die Gleichung für diese Aufgabe lautet $$lo{g}_{3}81=4$$. Laut ausgesprochen sagen wir: „Der Logarithmus von $$81$$ zur Basis (oder Grundzahl) $$3$$ ist gleich $$4$$, oder log zur Basis $$3$$ von $$81$$ ist gleich $$4$$ oder der Basis-$$3$$ -log von $$81$$ ist gleich $$4$$.

Die Zahl, die wir mit sich selbst multiplizieren, wird als Basis oder Grundzahl des Logarithmus bezeichnet. In unserem Beispiel ist $$3$$ die Basis des Logarithmus.
Die Ziffer zwischen der Basis und dem =-Zeichen wird als das Argument bezeichnet und ist die Zahl, die wir erhalten, wenn wir die Basis des logs ($$3$$) mit der Lösung der Gleichung ($$4$$) potenzieren. In unserem Beispiel ist $$81$$ das Argument.
Die Lösung des logs ist der Exponent, mit dem wir die Basis des logs potenzieren, um das Argument des Logarithmus zu erhalten. In unserem Beispiel ist $$4$$ die Lösung.

Ein Logarithmus, der ohne Basis geschrieben ist, hat üblicherweise eine Basis von $$10$$ und wird als Zehnerlogarithmus oder dekadischer Logarithmus bezeichnet. Die log-Taste auf Rechnern gibt den Zehnerlogarithmus ein. Zum Beispiel, $$log\left(100\right)=lo{g}_{10}\left(100\right)=2$$.
Natürliche Logarithmen werden als ln geschrieben und sind logs mit der Basis e. Hier ist e die Eulersche Zahl, eine irrationale Zahl, die ungefähr gleich 2,7182 ist. Wir können den natürlichen Logarithmus auf einem Rechner durch Drücken der ln-Taste eingeben.
Logarithmen können auch positiv oder negativ sein und Dezimalzahlen enthalten.

Eigenschaften von Logarithmen mit der gleichen Basis:

Produktregel: $$lo{g}_a\left(x\right)+lo{g}_a\left(y\right)=lo{g}_a\left(x·y\right)$$
Quotientenregel: $$lo{g}_a\left(x\right)-lo{g}_a\left(y\right)=lo{g}_a\left(x/y\right)$$
Potenzregel: $$lo{g}_a\left(x^b\right)=b·lo{g}_a\left(x\right)$$
Umkehrung: $$-lo{g}_a\left(x\right)=lo{g}_a\left(1/x\right)$$
Gleichheitsgesetz: Falls $$lo{g}_a\left(x\right)=lo{g}_a\left(y\right)$$, dann $$x=y$$


Eigenschaften bei Basisänderung:

$$lo{g}_a\left(x\right)=lo{g}_b\left(x\right)/lo{g}_b\left(a\right)$$

$$lo{g}_a\left(x\right)=1/lo{g}_x\left(a\right)$$


Beziehung zwischen Logarithmen, Exponenten und Wurzeln:
Wenn wir eine Exponentialgleichung drei Mal aufschreiben und jedes Mal einen anderen Wert durch eine Variable ersetzen, erhalten wir drei sehr unterschiedliche, aber miteinander verbundene Gleichungen.
Exponentialgleichung: $$3^4=81$$.

Szenario 1: Ersetzen der Lösung durch eine Variable
Wenn wir die Lösung durch $$x$$ ersetzen, erhalten wir $$3^4=x$$, was zu $$x=81$$ vereinfacht werden kann.

Szenario 2: Ersetzen des Exponenten durch eine Variable
Wenn wir den Exponenten durch $$x$$ ersetzen, erhalten wir $$3^x=81$$, eine logarithmische Gleichung, die wir als $$lo{g}_3\left(81\right)=x$$ umschreiben und zu $$x=4$$ vereinfachen können.

Szenario 3: Ersetzen der Basis durch eine Variable
Wenn wir die Basis durch $$x$$ ersetzen, erhalten wir $$x^4=81$$, was wir als $$\sqrt[4]{81}=x$$ umschreiben und zu $$x=3$$ vereinfachen können.