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解答 - 通过完成平方来解决二次方程

精确形式：

x_{1} = 3 + 3 \cdot \sqrt{2}

x_1=3+3\cdot\sqrt{2}

x_{2} = 3 - 3 \cdot \sqrt{2}

x_2=3-3\cdot\sqrt{2}

小数形式：

x_{1} = 7.243

x_1=7.243

x_{2} = - 1.243

x_2=-1.243

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逐步解答

1. 确定系数

使用二次方程的标准形式， $a x^{2} + b x + c = 0$ ，找出方程的系数：

$x^{2} - 6 x - 9 = 0$

$a = 1$
$b = - 6$
$c = - 9$

2. 将常数移到方程的右边并组合

将 $9$ 添加到方程的两边：

$x^{2} - 6 x - 9 = 0$

$x^{2} - 6 x - 9 + 9 = 0 + 9$

$x^{2} - 6 x = 9$

3. 完成平方

为了使方程的左侧成为一个完全平方三项式，添加一个新的常数等于 ${(\frac{b}{2})}^{2}$ 到方程中：

$b = - 6$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- 6}{2})}^{2}$

使用指数分数规则 ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- 6}{2})}^{2} = \frac{- 6^{2}}{2^{2}}$

$\frac{- 6^{2}}{2^{2}} = \frac{36}{4}$

$\frac{36}{4} = \frac{9}{1}$

将 $9$ 添加到方程的两边：

2 个额外步骤

$x^{2} - 6 x = 9$

$x^{2} - 6 x + \frac{9}{1} = 9 + \frac{9}{1}$

除以一:

$x^{2} - 6 x + \frac{9}{1} = 9 + 9$

简化运算:

$x^{2} - 6 x + \frac{9}{1} = 18$

现在我们有了完全的平方三项式，我们可以通过添加 $b$ 系数的一半，即 $\frac{b}{2}$ ，将其写成完全平方形式：
$b = - 6$

2 个额外步骤

$\frac{b}{2} = \frac{- 6}{2}$

寻找分子与分母的最大公约数:

$\frac{b}{2} = \frac{(- 3 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)}$

通过最大公约数简化分数:

$\frac{b}{2} = - 3$

$x^{2} - 6 x + \frac{9}{1} = 18$

${(x - 3)}^{2} = 18$

4. 解 $x$

求出方程两边的平方根：重要提示：当我们求一个常数的平方根时，我们会得到两个解：正数和负数

${(x - 3)}^{2} = 18$

$\sqrt{{(x - 3)}^{2}} = \sqrt{18}$

取消等式左侧的平方和平方根：

$x - 3 = \pm \sqrt{18}$

将 $3$ 加到等式的两边

$x - 3 + 3 = 3 \pm \sqrt{18}$

简化左侧：

$x = 3 \pm \sqrt{18}$

写出素因数：

$3 \pm \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}$

将素因数分成对并以指数形式重写它们：

$3 \pm \sqrt{2 \cdot 3^{2}}$

使用规则 $\sqrt{(x^{2})} = x$ 进一步简化：

$3 \pm 3 \cdot \sqrt{2}$

$x_{1} = 3 + 3 \cdot \sqrt{2}$
$x_{2} = 3 - 3 \cdot \sqrt{2}$

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为什么学习这个

在最基本的功能上，二次方程定义了像圆形、椭圆形和抛物线这样的形状。这些形状反过来又可以用于预测运动中物体的曲线，比如被足球运动员踢出的球或者被炮筒射出的。
当物体的运动途经空间时，没有比空间本身更好的开始点，因此有了我们太阳系中行星绕太阳公转的情况。二次方程用于确定行星的轨道是椭圆形的，而不是圆形的。一个物体通过空间运动的路径和速度甚至在它已经停止之后也能被确定:二次方程可以计算一个车辆在碰撞时的速度。有了这样的信息，汽车产业可以设计刹车来防止未来的碰撞。许多行业使用二次方程来预测并改进他们的产品的寿命和安全性。

术语和主题

通过完成平方来解决二次方程