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解答 - 通过完成平方来解决二次方程

精确形式：

a_{1} = - \frac{21}{32} + \frac{\sqrt{249}}{32}

a_1=-\frac{21}{32}+\frac{\sqrt{249}}{32}

a_{2} = - \frac{21}{32} - \frac{\sqrt{249}}{32}

a_2=-\frac{21}{32}-\frac{\sqrt{249}}{32}

小数形式：

a_{1} = - 0.163

a_1=-0.163

a_{2} = - 1.149

a_2=-1.149

查看步骤

逐步解答

1. 将所有项移到方程的左边

$16 a^{2} + 21 a + 9 = 6$

从两边减去-6：

$16 a^{2} + 21 a + 9 - 6 = 6 - 6$

简化表达式

$16 a^{2} + 21 a + 3 = 0$

2. 确定系数

使用二次方程的标准形式， $a x^{2} + b x + c = 0$ ，来找到系数：

$16 a^{2} + 21 a + 3 = 0$

$a = 16$
$b = 21$
$c = 3$

3. 使a系数等于1

因为 $a = 16$ ，所以将方程的两边的所有系数和常数除以 $16$ ：

$16 a^{2} + 21 a + 3 = 0$

$\frac{16}{16} a^{2} + 21 \frac{a}{16} + \frac{3}{16} = \frac{0}{16}$

简化表达式

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{3}{16} = 0$

系数是：
$a = 1$
$b = \frac{21}{16}$
$c = \frac{3}{16}$

4. 将常数移到方程的右边并组合

将 $\frac{3}{16}$ 添加到方程的两边：

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{3}{16} = 0$

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{3}{16} - \frac{3}{16} = 0 - \frac{3}{16}$

$a^{2} + \frac{21}{16} a = - \frac{3}{16}$

5. 完成平方

为了使方程的左侧成为一个完全平方三项式，添加一个新的常数等于 ${(\frac{b}{2})}^{2}$ 到方程中：

$b = \frac{21}{16}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{\frac{21}{16}}{2})}^{2}$

使用指数分数规则 ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{\frac{21}{16}}{2})}^{2} = \frac{{(\frac{21}{16})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(\frac{21}{16})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{441}{256}}{4}$

$\frac{\frac{441}{256}}{4} = \frac{441}{256} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{441}{256} \cdot \frac{1}{4} = \frac{441}{1024}$

将 $\frac{441}{1024}$ 添加到方程的两边：

5 个额外步骤

$a^{2} + \frac{21}{16} a = - \frac{3}{16}$

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = - \frac{3}{16} + \frac{441}{1024}$

找出最小公分母:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{(- 3 \cdot 64)}{(16 \cdot 64)} + \frac{441}{1024}$

乘以分母:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{(- 3 \cdot 64)}{1024} + \frac{441}{1024}$

乘以分子:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{- 192}{1024} + \frac{441}{1024}$

组合分数:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{(- 192 + 441)}{1024}$

合并分子:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{249}{1024}$

现在我们有了完全的平方三项式，我们可以通过添加 $b$ 系数的一半，即 $\frac{b}{2}$ ，将其写成完全平方形式：
$b = \frac{21}{16}$

2 个额外步骤

$\frac{b}{2} = \frac{\frac{21}{16}}{2}$

简化除法:

$\frac{b}{2} = \frac{21}{(16 \cdot 2)}$

简化运算:

$\frac{b}{2} = \frac{21}{32}$

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{249}{1024}$

${(a + \frac{21}{32})}^{2} = \frac{249}{1024}$

6. 解 $x$

求出方程两边的平方根：重要提示：当我们求一个常数的平方根时，我们会得到两个解：正数和负数

${(a + \frac{21}{32})}^{2} = \frac{249}{1024}$

$\sqrt{{(a + \frac{21}{32})}^{2}} = \sqrt{\frac{249}{1024}}$

取消等式左侧的平方和平方根：

$a + \frac{21}{32} = \pm \sqrt{\frac{249}{1024}}$

从两边减去 $\frac{21}{32}$

$a + \frac{21}{32} - \frac{21}{32} = - \frac{21}{32} \pm \sqrt{\frac{249}{1024}}$

简化左侧：

$a = - \frac{21}{32} \pm \sqrt{\frac{249}{1024}}$

$a = - \frac{21}{32} \pm \frac{\sqrt{249}}{\sqrt{1024}}$

$a = - \frac{21}{32} \pm \frac{\sqrt{249}}{32}$

$a_{1} = - \frac{21}{32} + \frac{\sqrt{249}}{32}$
$a_{2} = - \frac{21}{32} - \frac{\sqrt{249}}{32}$

我们做得怎么样？

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为什么学习这个

在最基本的功能上，二次方程定义了像圆形、椭圆形和抛物线这样的形状。这些形状反过来又可以用于预测运动中物体的曲线，比如被足球运动员踢出的球或者被炮筒射出的。
当物体的运动途经空间时，没有比空间本身更好的开始点，因此有了我们太阳系中行星绕太阳公转的情况。二次方程用于确定行星的轨道是椭圆形的，而不是圆形的。一个物体通过空间运动的路径和速度甚至在它已经停止之后也能被确定:二次方程可以计算一个车辆在碰撞时的速度。有了这样的信息，汽车产业可以设计刹车来防止未来的碰撞。许多行业使用二次方程来预测并改进他们的产品的寿命和安全性。

术语和主题

通过完成平方来解决二次方程