解答 - 椭圆的性质

$$h$$ 代表从原点开始的 x 偏移量。
$$k$$ 代表从原点开始的 y 偏移量。
为了找出 $$h$$ 和 $$k$$ 的值，使用垂直椭圆标准形式:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{49}{9}}+\frac{y^2}{\frac{49}{4}}=1$$
$$h=0$$
$$k=0$$
中心: $$\left(0,0\right)$$

$$a$$ 代表椭圆的长半轴，等于长轴的一半。
这被称为半主轴。
为了找出 $$a$$ 的值，使用垂直椭圆标准形式:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{49}{9}}+\frac{y^2}{\frac{49}{4}}=1$$
$$a^2=\frac{49}{4}$$
等式两边都取平方根:
$$a=3.5$$

因为 $$a$$ 表示一个距离，它只有一个正值。

在垂直椭圆中，主轴与y轴平行且通过椭圆的顶点。通过将 $$a$$ 加到中心的y坐标（$$k$$）上和从中心的y坐标（$$k$$）减去 $$a$$ 来找到顶点。

要找到 vertex_1，把 $$a$$ 加到中心的 y 坐标 ($$k$$) 上:
Vertex_1: $$\left(h,k+a\right)$$
中心: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=3.5$$
Vertex_1: $$\left(0,0+3.5\right)$$
Vertex_1: $$\left(0;3.5\right)$$

要找到 vertex_2，从中心的 y 坐标 ($$k$$) 中减去 $$a$$：
Vertex_2: $$\left(h,k-a\right)$$
中心: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=3.5$$
Vertex_2: $$\left(0,0-3.5\right)$$
Vertex_2: $$\left(0;-3.5\right)$$

$$b$$ 代表椭圆的短半径，等于短轴的一半。这被称为半副轴。
为了找到 $$b$$ 的值，使用垂直椭圆的标准形式:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{49}{9}}+\frac{y^2}{\frac{49}{4}}=1$$
$$b^2=\frac{49}{9}$$
等式两边都取平方根:
$$b=2.333$$
因为 b 代表一个距离，它只有一个正数值。

在一个垂直的椭圆中，次轴平行于x轴，并经过椭圆的共轭顶点。
通过对椭圆中心的x坐标（$$h$$）加减$$b$$来找到共轭顶点。

要找到共轭顶点_1，将 $$b$$ 加到中心的x坐标（$$h$$）：
共轭顶点_1：$$\left(h+b,k\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=2.333$$
共轭顶点_1：$$\left(0+2.333,0\right)$$
共轭顶点_1：$$\left(2.333;0\right)$$

要找到共轭顶点_2，从中心的x坐标（$$h$$）中减去$$b$$：
共轭顶点_2：$$\left(h-b,k\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=2.333$$
共轭顶点_2：$$\left(0-2.333,0\right)$$
共轭顶点_2：$$\left(-2.333;0\right)$$

焦距是从椭圆的中心到每个焦点的距离，通常用$$f$$表示。

要找到$$f$$，使用下面的公式：
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=\frac{49}{4}$$
$$b^2=\frac{49}{9}$$
将$$a^2$$ 和 $$b^2$$ 插入公式并简化：

$$f=\sqrt{\frac{49}{4}-\frac{49}{9}}$$

$$f=\sqrt{\frac{245}{36}}$$

$$f=2.609$$

因为$$f$$表示距离，所以它只有正数值.

在一个垂直的椭圆中，主轴平行于y轴，并经过焦点。
通过对椭圆中心的y坐标$$\left(k\right)$$加减$$f$$来找到焦点。

要找到焦点_1，将$$f$$加到中心的y坐标$$\left(k\right)$$：
焦点_1：$$\left(h,k+f\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=2.609$$
焦点_1：$$\left(0,0+2.609\right)$$
焦点_1：$$\left(0;2.609\right)$$

要找到焦点_2，从中心的y坐标$$\left(k\right)$$中减去$$f$$：
焦点_2：$$\left(h,k-f\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=2.609$$
焦点_2：$$\left(0,0-2.609\right)$$
焦点_2：$$\left(0;-2.609\right)$$

使用椭圆面积公式来找到椭圆的面积：
$$\pi ·a·b$$
$$a=3.5$$
$$b=2.333$$
将$$a$$和$$b$$带入公式并进行简化：

$$\pi ·3.5·2.333$$

$$\pi ·8.166$$

面积等于$$8.166\pi$$

要找到x的截距(s)，将椭圆的标准方程中的$$0$$换成$$y$$，然后解出对应的$$x$$的二次方程。
点击这里获得二次方程的逐步解释。

$$\frac{x^2}{\frac{49}{9}}+\frac{y^2}{\frac{49}{4}}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{49}{9}}+\frac{0^2}{\frac{49}{4}}=1$$

$$x_1=\frac{7}{3}$$

$$x_2=-\frac{7}{3}$$

要找到y-截距，将$$0$$代入椭圆的标准方程中的$$x$$，然后求解这个二次方程得到$$y$$
点击此处查看对二次方程的逐步解释。

$$\frac{x^2}{\frac{49}{9}}+\frac{y^2}{\frac{49}{4}}=1$$

$$\frac{0^2}{\frac{49}{9}}+\frac{y^2}{\frac{49}{4}}=1$$

$$y_1=\frac{7}{2}$$

$$y_2=-\frac{7}{2}$$

要找到离心率，使用以下公式：
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=\frac{49}{4}$$
$$b^2=\frac{49}{9}$$
$$a=3.5$$
将$$a^2$$，$$b^2$$和$$a$$代入公式：

$$\frac{\sqrt{\frac{49}{4}-\frac{49}{9}}}{3.5}$$

$$\frac{\sqrt{\frac{245}{36}}}{3.5}$$

$$\frac{2.609}{3.5}$$

$$0.745$$

离心率等于$$0.745$$