解答 - 椭圆的性质

$$a$$表示椭圆的长半径，等于长轴的一半。这被称为半长轴。
要找到$$a$$的值，使用水平椭圆的标准形式：
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$
$$a^2=64$$
等式两边同时取平方根：
$$a=8$$

因为$$a$$表示距离，所以它只有正数值.

在一个横向的椭圆中，长轴平行于x轴并通过椭圆的顶点。通过在椭圆中心的x坐标$$\left(h\right)$$上加上和减去$$a$$来找到顶点.

要找到vertex_1，将$$a$$加到中心的x坐标$$\left(h\right)$$：
Vertex_1: $$\left(h+a,k\right)$$
中心: $$\left(h,k\right)=\left(1,-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$a=8$$
Vertex_1: $$\left(1+8,-4\right)$$
Vertex_1: $$\left(9;-4\right)$$

要找到vertex_2，从中心的x坐标（$$h$$）减去$$a$$：
Vertex_2: $$\left(h-a,k\right)$$
中心: $$\left(h,k\right)=\left(1,-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$a=8$$
Vertex_2: $$\left(1-8,-4\right)$$
Vertex_2: $$\left(-7;-4\right)$$

$$b$$表示椭圆的短半径，等于短轴的一半。这被称为半短轴。
要找到$$b$$的值，使用水平椭圆的标准形式：
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$
$$b^2=49$$
等式两边同时取平方根：
$$b=7$$
因为b表示一个距离，所以只有正值。

在一个水平椭圆中，短轴与y轴平行，并通过椭圆的共顶点。
通过将$$b$$加到或减去中心的y坐标$$\left(k\right)$$，找到共顶点。

要找到辅助顶点1，将$$b$$加到中心的y坐标$$\left(k\right)$$：
辅助顶点1：$$\left(h,k+b\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(1;-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$b=7$$
辅助顶点1：$$\left(1,-4+7\right)$$
辅助顶点1：$$\left(1;3\right)$$

要找到辅助顶点2，从中心的y坐标$$\left(k\right)$$中减去$$b$$：
辅助顶点2：$$\left(h,k-b\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(1;-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$b=7$$
辅助顶点2：$$\left(1,-4-7\right)$$
辅助顶点2：$$\left(1;-11\right)$$

焦距是从椭圆中心到每个焦点的距离，通常由$$f$$表示。

要找到$$f$$，用公式：
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=49$$
将$$a^2$$和$$b^2$$带入公式并简化：

$$f=\sqrt{64-49}$$

$$f=\sqrt{15}$$

$$f=3.873$$

因为$$f$$表示距离，所以它只有正数值.

在水平椭圆中，主轴平行于x轴并穿过焦点。
通过加上和减去$$f$$从中心的x坐标$$\left(h\right)$$找到焦点。

要找到焦点1，将$$f$$加到中心的x坐标$$\left(h\right)$$：
焦点1：$$\left(h+f,k\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(1;-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$f=3.873$$
焦点1：$$\left(1+3.873,-4\right)$$
焦点1：$$\left(4.873;-4\right)$$

要找到焦点2，从中心的x坐标$$\left(h\right)$$中减去$$f$$：
焦点2：$$\left(h-f,k\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(1;-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$f=3.873$$
焦点2：$$\left(1-3.873,-4\right)$$
焦点2：$$\left(-2.873;-4\right)$$

使用椭圆面积公式来找到椭圆的面积：
$$\pi ·a·b$$
$$a=8$$
$$b=7$$
将$$a$$和$$b$$带入公式并进行简化：

$$\pi ·8·7$$

$$\pi ·56$$

面积等于$$56\pi$$

要找到x的截距(s)，将椭圆的标准方程中的$$0$$换成$$y$$，然后解出对应的$$x$$的二次方程。
点击这里获得二次方程的逐步解释。

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(0+4\right)}^2}{49}=1$$

$$x_1=7.565$$

$$x_2=-5.565$$

要找到y-截距，将$$0$$代入椭圆的标准方程中的$$x$$，然后求解这个二次方程得到$$y$$
点击此处查看对二次方程的逐步解释。

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$

$$\frac{{\left(0-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$

$$y_1=2.945$$

$$y_2=-10.945$$

要找到离心率，使用以下公式：
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=49$$
$$a=8$$
将$$a^2$$，$$b^2$$和$$a$$代入公式：

$$\frac{\sqrt{64-49}}{8}$$

$$\frac{\sqrt{15}}{8}$$

$$\frac{3.873}{8}$$

$$0.484$$

离心率等于$$0.484$$