解答 - 椭圆的性质

$$a$$ 代表椭圆的长半轴，等于长轴的一半。
这被称为半主轴。
为了找出 $$a$$ 的值，使用垂直椭圆标准形式:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x+5\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y-3\right)}^2}{49}=1$$
$$a^2=49$$
等式两边都取平方根:
$$a=7$$

因为 $$a$$ 表示一个距离，它只有一个正值。

在垂直椭圆中，主轴与y轴平行且通过椭圆的顶点。通过将 $$a$$ 加到中心的y坐标（$$k$$）上和从中心的y坐标（$$k$$）减去 $$a$$ 来找到顶点。

要找到 vertex_1，把 $$a$$ 加到中心的 y 坐标 ($$k$$) 上:
Vertex_1: $$\left(h,k+a\right)$$
中心: $$\left(h,k\right)=\left(-5,3\right)$$
$$h=-5$$
$$k=3$$
$$a=7$$
Vertex_1: $$\left(-5,3+7\right)$$
Vertex_1: $$\left(-5;10\right)$$

要找到 vertex_2，从中心的 y 坐标 ($$k$$) 中减去 $$a$$：
Vertex_2: $$\left(h,k-a\right)$$
中心: $$\left(h,k\right)=\left(-5;3\right)$$
$$h=-5$$
$$k=3$$
$$a=7$$
Vertex_2: $$\left(-5,3-7\right)$$
Vertex_2: $$\left(-5;-4\right)$$

$$b$$ 代表椭圆的短半径，等于短轴的一半。这被称为半副轴。
为了找到 $$b$$ 的值，使用垂直椭圆的标准形式:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x+5\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y-3\right)}^2}{49}=1$$
$$b^2=25$$
等式两边都取平方根:
$$b=5$$
因为 b 代表一个距离，它只有一个正数值。

在一个垂直的椭圆中，次轴平行于x轴，并经过椭圆的共轭顶点。
通过对椭圆中心的x坐标（$$h$$）加减$$b$$来找到共轭顶点。

要找到共轭顶点_1，将 $$b$$ 加到中心的x坐标（$$h$$）：
共轭顶点_1：$$\left(h+b,k\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(-5;3\right)$$
$$h=-5$$
$$k=3$$
$$b=5$$
共轭顶点_1：$$\left(-5+5,3\right)$$
共轭顶点_1：$$\left(0;3\right)$$

要找到共轭顶点_2，从中心的x坐标（$$h$$）中减去$$b$$：
共轭顶点_2：$$\left(h-b,k\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(-5;3\right)$$
$$h=-5$$
$$k=3$$
$$b=5$$
共轭顶点_2：$$\left(-5-5,3\right)$$
共轭顶点_2：$$\left(-10;3\right)$$

焦距是从椭圆的中心到每个焦点的距离，通常用$$f$$表示。

要找到$$f$$，使用下面的公式：
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=49$$
$$b^2=25$$
将$$a^2$$ 和 $$b^2$$ 插入公式并简化：

$$f=\sqrt{49-25}$$

$$f=\sqrt{24}$$

$$f=4.899$$

因为$$f$$表示距离，所以它只有正数值.

在一个垂直的椭圆中，主轴平行于y轴，并经过焦点。
通过对椭圆中心的y坐标$$\left(k\right)$$加减$$f$$来找到焦点。

要找到焦点_1，将$$f$$加到中心的y坐标$$\left(k\right)$$：
焦点_1：$$\left(h,k+f\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(-5;3\right)$$
$$h=-5$$
$$k=3$$
$$f=4.899$$
焦点_1：$$\left(-5,3+4.899\right)$$
焦点_1：$$\left(-5;7.899\right)$$

要找到焦点_2，从中心的y坐标$$\left(k\right)$$中减去$$f$$：
焦点_2：$$\left(h,k-f\right)$$
中心：$$\left(h,k\right)=\left(-5;3\right)$$
$$h=-5$$
$$k=3$$
$$f=4.899$$
焦点_2：$$\left(-5,3-4.899\right)$$
焦点_2：$$\left(-5;-1.899\right)$$

使用椭圆面积公式来找到椭圆的面积：
$$\pi ·a·b$$
$$a=7$$
$$b=5$$
将$$a$$和$$b$$带入公式并进行简化：

$$\pi ·7·5$$

$$\pi ·35$$

面积等于$$35\pi$$

要找到x的截距(s)，将椭圆的标准方程中的$$0$$换成$$y$$，然后解出对应的$$x$$的二次方程。
点击这里获得二次方程的逐步解释。

$$\frac{{\left(x+5\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y-3\right)}^2}{49}=1$$

$$\frac{{\left(x+5\right)}^2}{25}+\frac{{\left(0-3\right)}^2}{49}=1$$

$$x_1=-0.482$$

$$x_2=-9.518$$

要找到y-截距，将$$0$$代入椭圆的标准方程中的$$x$$，然后求解这个二次方程得到$$y$$
点击此处查看对二次方程的逐步解释。

$$\frac{{\left(x+5\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y-3\right)}^2}{49}=1$$

$$\frac{{\left(0+5\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y-3\right)}^2}{49}=1$$

$$y_1=3$$

要找到离心率，使用以下公式：
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=49$$
$$b^2=25$$
$$a=7$$
将$$a^2$$，$$b^2$$和$$a$$代入公式：

$$\frac{\sqrt{49-25}}{7}$$

$$\frac{\sqrt{24}}{7}$$

$$\frac{4.899}{7}$$

$$0.7$$

离心率等于$$0.7$$