解答 - 导数

计算分数的导数。

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{3x+5}{x^2}\right]=\frac{\frac{d}{dx}[3x+5]\times x^2-\left(3x+5\right)\times \frac{d}{dx}\left[x^2\right]}{{\left(x^2\right)}^2}$$

应用导数的和法则。

$$\frac{\frac{d}{dx}[3x+5]\times x^2-\left(3x+5\right)\times \frac{d}{dx}\left[x^2\right]}{{\left(x^2\right)}^2}=\frac{\left(\frac{d}{dx}\left[3x\right]+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \frac{d}{dx}\left[x^2\right]}{{\left(x^2\right)}^2}$$

计算x的n次幂的导数。

$$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left[3x\right]+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \frac{d}{dx}\left[x^2\right]}{{\left(x^2\right)}^2}=\frac{\left(\frac{d}{dx}\left[3x\right]+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x^{2-1}\right)}{{\left(x^2\right)}^2}$$

从一个数字中减去一。

$$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left[3x\right]+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x^{2-1}\right)}{{\left(x^2\right)}^2}=\frac{\left(\frac{d}{dx}\left[3x\right]+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x^1\right)}{{\left(x^2\right)}^2}$$

任何数的一次方都等于该数本身。

$$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left[3x\right]+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x^1\right)}{{\left(x^2\right)}^2}=\frac{\left(\frac{d}{dx}\left[3x\right]+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}$$

应用导数的乘法规则。

$$\frac{\left(\frac{d}{dx}\left[3x\right]+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}=\frac{\left(\left(\frac{d}{dx}\left[3\right]\times x+3\times \frac{d}{dx}\left[x\right]\right)+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}$$

常数的导数总是零。

$$\frac{\left(\left(\frac{d}{dx}\left[3\right]\times x+3\times \frac{d}{dx}\left[x\right]\right)+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}=\frac{\left(\left(0x+3\times \frac{d}{dx}\left[x\right]\right)+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}$$

一个数乘以零总是等于零。

$$\frac{\left(\left(0x+3\times \frac{d}{dx}\left[x\right]\right)+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}=\frac{\left(\left(0+3\times \frac{d}{dx}\left[x\right]\right)+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}$$

一个数加零，其结果不变。

$$\frac{\left(\left(0+3\times \frac{d}{dx}\left[x\right]\right)+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}=\frac{\left(3\times \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}$$

一个变量对其本身的导数总是等于一。

$$\frac{\left(3\times \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}=\frac{\left(3\times 1+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}$$

一个数乘以一，其结果不变。

$$\frac{\left(3\times 1+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}=\frac{\left(3+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}$$

常数的导数总是零。

$$\frac{\left(3+\frac{d}{dx}\left[5\right]\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}=\frac{\left(3+0\right)x^2-\left(3x+5\right)\times \left(2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}$$

简化算术表达式。

$$\frac{\left(3+0\right)x^2-3x+5\times \left(2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}=\frac{\left(3+0\right)x^2-3x+5\times \left(2x\right)}{x^4}$$

一个数加零，其结果不变。

$$\frac{\left(3+0\right)x^2-3x+5\times \left(2x\right)}{x^4}=\frac{3x^2-3x+5\times \left(2x\right)}{x^4}$$

简化算术表达式。

$$\frac{3x^2+-3x+5\times \left(2x\right)}{x^4}=\frac{3x^2+-3x-5\times \left(2x\right)}{x^4}$$

简化算术表达式。

$$\frac{3x^2-3x-5\times \left(2x\right)}{x^4}=\frac{3x^2+2x\left(-3x-5\right)}{x^4}$$