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解答 - 导数

- \frac{5 \cdot (15 x + 3)}{{(5 x + 1)}^{5}}

- \frac{5 \cdot \left(15 x + 3\right)}{\left(5 x + 1\right)^{5}}

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1. 求导数

计算幂函数的导数。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{5 x + 1})}^{3}] = {(\frac{1}{5 x + 1})}^{3} \times (\frac{d}{d x} [3] \times \ln (\frac{1}{5 x + 1}) + \frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}])$

常数的导数总是零。

${(\frac{1}{5 x + 1})}^{3} \times (\frac{d}{d x} [3] \times \ln (\frac{1}{5 x + 1}) + \frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]) = {(\frac{1}{5 x + 1})}^{3} \times (0 \times \ln (\frac{1}{5 x + 1}) + \frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}])$

计算分数的导数。

${(\frac{1}{5 x + 1})}^{3} \times (0 \times \ln (\frac{1}{5 x + 1}) + \frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]) = {(\frac{1}{5 x + 1})}^{3} \times (0 \times \ln (\frac{1}{5 x + 1}) + \frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{\frac{d}{d x} [1] \times (5 x + 1) - 1 \times \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}})$

一个数乘以零总是等于零。

${(\frac{1}{5 x + 1})}^{3} \times (0 \times \ln (\frac{1}{5 x + 1}) + \frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{\frac{d}{d x} [1] \times (5 x + 1) - 1 \times \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}) = {(\frac{1}{5 x + 1})}^{3} \times (0 + \frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{\frac{d}{d x} [1] \times (5 x + 1) - 1 \times \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}})$

常数的导数总是零。

${(\frac{1}{5 x + 1})}^{3} \times (0 + \frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{\frac{d}{d x} [1] \times (5 x + 1) - 1 \times \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}) = {(\frac{1}{5 x + 1})}^{3} \times (0 + \frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 (5 x + 1) - 1 \times \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}})$

应用导数的和法则。

${(\frac{1}{5 x + 1})}^{3} \times (0 + \frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 (5 x + 1) - 1 \times \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}) = {(\frac{1}{5 x + 1})}^{3} \times (0 + \frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 (5 x + 1) - 1 (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}})$

一个数加零，其结果不变。

${(\frac{1}{5 x + 1})}^{3} \times (0 + \frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 (5 x + 1) - 1 (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}) = {(\frac{1}{5 x + 1})}^{3} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 (5 x + 1) - 1 (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}})$

简化算术表达式。

${(\frac{1}{5 x + 1})}^{3} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 (5 x + 1) - 1 (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}) = \frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 (5 x + 1) - 1 (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}})$

一个数乘以零总是等于零。

$\frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 (5 x + 1) - 1 (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}) = \frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 - 1 (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}})$

应用导数的乘法规则。

$\frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 - 1 (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}) = \frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 - 1 ((\frac{d}{d x} [5] \times x + 5 \times \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}})$

常数的导数总是零。

$\frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 - 1 ((\frac{d}{d x} [5] \times x + 5 \times \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}) = \frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 - 1 ((0 x + 5 \times \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}})$

一个数乘以零总是等于零。

$\frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 - 1 ((0 x + 5 \times \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}) = \frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 - 1 ((0 + 5 \times \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}})$

一个数加零，其结果不变。

$\frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 - 1 ((0 + 5 \times \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}) = \frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 - 1 (5 \times \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}})$

一个变量对其本身的导数总是等于一。

$\frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 - 1 (5 \times \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}) = \frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 - 1 (5 \times 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}})$

一个数乘以一，其结果不变。

$\frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 - 1 (5 \times 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}) = \frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 - 1 (5 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}})$

常数的导数总是零。

$\frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 - 1 (5 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}) = \frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 - 1 (5 + 0)}{{(5 x + 1)}^{2}})$

简化算术表达式。

$\frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (\frac{3}{\frac{1}{5 x + 1}} \times \frac{0 - 1 (5 + 0)}{{(5 x + 1)}^{2}}) = \frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (15 x + 3 \times \frac{0 - 1 (5 + 0)}{{(5 x + 1)}^{2}})$

一个数加零，其结果不变。

$\frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (15 x + 3 \times \frac{0 - 1 (5 + 0)}{{(5 x + 1)}^{2}}) = \frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (15 x + 3 \times \frac{- 1 (5 + 0)}{{(5 x + 1)}^{2}})$

一个数加零，其结果不变。

$\frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (15 x + 3 \times \frac{- 1 (5 + 0)}{{(5 x + 1)}^{2}}) = \frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (15 x + 3 \times \frac{- 1 \times 5}{{(5 x + 1)}^{2}})$

将两个整数倍乘在一起。

$\frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (15 x + 3 \times \frac{- 1 \times 5}{{(5 x + 1)}^{2}}) = \frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (15 x + 3 \times \frac{- 5}{{(5 x + 1)}^{2}})$

简化算术表达式。

$\frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (15 x + 3 \times \frac{- 5}{{(5 x + 1)}^{2}}) = \frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (15 x + 3 \times (- \frac{5}{{(5 x + 1)}^{2}}))$

简化算术表达式。

$\frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (15 x + 3 \times (- \frac{5}{{(5 x + 1)}^{2}})) = \frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (- \frac{5 \cdot (15 x + 3)}{{(5 x + 1)}^{2}})$

简化算术表达式。

$\frac{1}{{(5 x + 1)}^{3}} \times (- \frac{5 \cdot (15 x + 3)}{{(5 x + 1)}^{2}}) = - \frac{5 \cdot (15 x + 3)}{{(5 x + 1)}^{5}}$

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简言之，导数就像是理解变化并在现实生活中做出预测的秘密代码。所以，我们一起来解开这个代码，成为我们未来的主人吧!

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