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解答 - 使用二次公式解决二次不等式

区间记号 - 没有实数根：

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

解决方案：

x_{1} = \frac{- 1}{6} + \frac{1}{6} i \cdot \sqrt{11}, x_{2} = \frac{- 1}{6} + \frac{- 1}{6} i \cdot \sqrt{11}

x_{1}=\frac{-1}{6}+\frac{1}{6}i\cdot\sqrt{11} , x_{2}=\frac{-1}{6}+\frac{-1}{6}i\cdot\sqrt{11}

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1. 简化表达式

4 个额外步骤

$8 x^{2} + 2 x > 2 x^{2} - 2$

从两边减去 :

$(8 x^{2} + 2 x) - 2 x^{2} > (2 x^{2} - 2) - 2 x^{2}$

收集同类项:

$(8 x^{2} - 2 x^{2}) + 2 x > (2 x^{2} - 2) - 2 x^{2}$

简化运算:

$6 x^{2} + 2 x > (2 x^{2} - 2) - 2 x^{2}$

收集同类项:

$6 x^{2} + 2 x > (2 x^{2} - 2 x^{2}) - 2$

简化运算:

$6 x^{2} + 2 x > - 2$

将二次不等式简化为标准形式

$a x^{2} + b x + c > 0$

在方程的两边加上 $- 2$ ：

$6 x^{2} + 2 x > - 2$

在方程的两边加上 $- 2$ ：

$6 x^{2} + 2 x + 2 > - 2 + 2$

简化表达式

$6 x^{2} + 2 x + 2 > 0$

2. 确定二次不等式的系数 $a$ ， $b$ 和 $c$

我们的不等式系数，即 $6 x^{2} + 2 x + 2 > 0$ ，是：

$a$ = 6

$b$ = 2

$c$ = 2

3. 将这些系数插入到二次公式中

要找到二次方程的根，将其系数（ $a$ ， $b$ 和 $c$ ）插入到二次公式中:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 6$
$b = 2$
$c = 2$

$x = (- 2 \pm s q r t (2^{2} - 4 * 6 * 2)) / (2 * 6)$

简化指数和平方根

$x = (- 2 \pm s q r t (4 - 4 * 6 * 2)) / (2 * 6)$

从左到右进行任何乘法或除法操作：

$x = (- 2 \pm s q r t (4 - 24 * 2)) / (2 * 6)$

$x = (- 2 \pm s q r t (4 - 48)) / (2 * 6)$

按照从左到右的顺序，计算任何加法或者减法。

$x = (- 2 \pm s q r t (- 44)) / (2 * 6)$

从左到右进行任何乘法或除法操作：

$x = (- 2 \pm s q r t (- 44)) / (12)$

得到结果：

$x = (- 2 \pm s q r t (- 44)) / 12$

4. 简化根号下的 $\sqrt{(- 44)}$

通过找出其质因数来简化 $- 44$ ：

$- 44$ 的质因数分解是 $2 i \cdot \sqrt{11}$

负数的平方根在实数集中不存在。我们引入了虚数"i"，它是负一的平方根。 $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 44} = \sqrt{(- 1) \cdot 44}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 44} = i \sqrt{44}$

写出素因数：

$i \sqrt{44} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 11}$

将素因数分成对并以指数形式重写它们：

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 11} = i \sqrt{2^{2} \cdot 11}$

使用规则 $\sqrt{(x^{2})} = x$ 进一步简化：

$i \sqrt{2^{2} \cdot 11} = 2 i \cdot \sqrt{11}$

5. 解出 x的方程

$x = (- 2 \pm 2 i * s q r t (11)) / 12$

±表示有两个可能的根。

分离这两个方程：
$x_{1} = (- 2 + 2 i * s q r t (11)) / 12$ 和 $x_{2} = (- 2 - 2 i * s q r t (11)) / 12$

3 个额外步骤

$x_{1} = \frac{(- 2 + 2 i \cdot \sqrt{11})}{12}$

拆分分数:

$x_{1} = \frac{- 2}{12} + \frac{2 i \cdot \sqrt{11}}{12}$

寻找分子与分母的最大公约数:

$x_{1} = \frac{(- 1 \cdot 2)}{(6 \cdot 2)} + \frac{2 i \cdot \sqrt{11}}{12}$

通过最大公约数简化分数:

$x_{1} = \frac{- 1}{6} + \frac{2 i \cdot \sqrt{11}}{12}$

简化分数:

$x_{1} = \frac{- 1}{6} + \frac{1}{6} i \cdot \sqrt{11}$

3 个额外步骤

$x_{2} = \frac{(- 2 - 2 i \cdot \sqrt{11})}{12}$

拆分分数:

$x_{2} = \frac{- 2}{12} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{11}}{12}$

寻找分子与分母的最大公约数:

$x_{2} = \frac{(- 1 \cdot 2)}{(6 \cdot 2)} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{11}}{12}$

通过最大公约数简化分数:

$x_{2} = \frac{- 1}{6} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{11}}{12}$

简化分数:

$x_{2} = \frac{- 1}{6} + \frac{- 1}{6} i \cdot \sqrt{11}$

6. 求得区间

二次公式的判别式部分：

$b^{2} - 4 a c < 0$ 没有实数根。
$b^{2} - 4 a c = 0$ 有一个实数根。
$b^{2} - 4 a c > 0$ 有两个实数根。

不等式函数没有实数根，抛物线不与x轴交叉。取二次公式的平方根，而负数的平方根在实数线上未定义。

区间是 $(- \infty, \infty)$

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为什么学习这个

二次方程表达了弧线的路径以及沿线的点，而二次不等式表达了这些弧线内外的区域和覆盖的范围。换句话说，如果二次方程告诉我们边界在哪里，那么二次不等式则帮助我们理解相对于该边界，我们应该关注哪些内容。更实际地说，二次不等式被用来创建强大软件的复杂算法，并追踪随时间变化的情况，例如杂货店的价格。

术语和主题

二次不等式