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解答 - 使用二次公式解决二次不等式

区间记号 - 没有实数根：

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

解决方案：

x_{1} = \frac{- 3}{2} + \frac{1}{2} i \cdot \sqrt{6}, x_{2} = \frac{- 3}{2} + \frac{- 1}{2} i \cdot \sqrt{6}

x_{1}=\frac{-3}{2}+\frac{1}{2}i\cdot\sqrt{6} , x_{2}=\frac{-3}{2}+\frac{-1}{2}i\cdot\sqrt{6}

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1. 简化表达式

10 个额外步骤

$5 x^{2} + 8 x + 15 > x^{2} - 4 x$

将 $15$ 加到等式的两边:

$(5 x^{2} + 8 x + 15) + 4 x > (x^{2} - 4 x) + 4 x$

收集同类项:

$5 x^{2} + (8 x + 4 x) + 15 > (x^{2} - 4 x) + 4 x$

简化运算:

$5 x^{2} + 12 x + 15 > (x^{2} - 4 x) + 4 x$

简化运算:

$5 x^{2} + 12 x + 15 > x^{2}$

从两边减去 $15$ :

$(5 x^{2} + 12 x + 15) - x^{2} > (x^{2}) - x^{2}$

收集同类项:

$(5 x^{2} - x^{2}) + 12 x + 15 > (x^{2}) - x^{2}$

简化运算:

$4 x^{2} + 12 x + 15 > (x^{2}) - x^{2}$

简化运算:

$4 x^{2} + 12 x + 15 > 0$

从两边减去 $15$ :

$(4 x^{2} + 12 x + 15) - 15 > 0 - 15$

简化运算:

$4 x^{2} + 12 x > 0 - 15$

简化运算:

$4 x^{2} + 12 x > - 15$

将二次不等式简化为标准形式

$a x^{2} + b x + c > 0$

在方程的两边加上 $- 15$ ：

$4 x^{2} + 12 x > - 15$

在方程的两边加上 $- 15$ ：

$4 x^{2} + 12 x + 15 > - 15 + 15$

简化表达式

$4 x^{2} + 12 x + 15 > 0$

2. 确定二次不等式的系数 $a$ ， $b$ 和 $c$

我们的不等式系数，即 $4 x^{2} + 12 x + 15 > 0$ ，是：

$a$ = 4

$b$ = 12

$c$ = 15

3. 将这些系数插入到二次公式中

要找到二次方程的根，将其系数（ $a$ ， $b$ 和 $c$ ）插入到二次公式中:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 4$
$b = 12$
$c = 15$

$x = (- 12 \pm s q r t (12^{2} - 4 * 4 * 15)) / (2 * 4)$

简化指数和平方根

$x = (- 12 \pm s q r t (144 - 4 * 4 * 15)) / (2 * 4)$

从左到右进行任何乘法或除法操作：

$x = (- 12 \pm s q r t (144 - 16 * 15)) / (2 * 4)$

$x = (- 12 \pm s q r t (144 - 240)) / (2 * 4)$

按照从左到右的顺序，计算任何加法或者减法。

$x = (- 12 \pm s q r t (- 96)) / (2 * 4)$

从左到右进行任何乘法或除法操作：

$x = (- 12 \pm s q r t (- 96)) / (8)$

得到结果：

$x = (- 12 \pm s q r t (- 96)) / 8$

4. 简化根号下的 $\sqrt{(- 96)}$

通过找出其质因数来简化 $- 96$ ：

$- 96$ 的质因数分解是 $4 i \cdot \sqrt{6}$

负数的平方根在实数集中不存在。我们引入了虚数"i"，它是负一的平方根。 $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 96} = \sqrt{(- 1) \cdot 96}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 96} = i \sqrt{96}$

写出素因数：

$i \sqrt{96} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}$

将素因数分成对并以指数形式重写它们：

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} = i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2 \cdot 3}$

使用规则 $\sqrt{(x^{2})} = x$ 进一步简化：

$i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2 \cdot 3} = 2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{2 \cdot 3}$

从左到右进行任何乘法或除法操作：

$2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{2 \cdot 3} = 4 i \cdot \sqrt{2 \cdot 3}$

从左到右进行任何乘法或除法操作：

$4 i \cdot \sqrt{2 \cdot 3} = 4 i \cdot \sqrt{6}$

5. 解出 x的方程

$x = (- 12 \pm 4 i * s q r t (6)) / 8$

±表示有两个可能的根。

分离这两个方程：
$x_{1} = (- 12 + 4 i * s q r t (6)) / 8$ 和 $x_{2} = (- 12 - 4 i * s q r t (6)) / 8$

3 个额外步骤

$x_{1} = \frac{(- 12 + 4 i \cdot \sqrt{6})}{8}$

拆分分数:

$x_{1} = \frac{- 12}{8} + \frac{4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

寻找分子与分母的最大公约数:

$x_{1} = \frac{(- 3 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)} + \frac{4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

通过最大公约数简化分数:

$x_{1} = \frac{- 3}{2} + \frac{4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

简化分数:

$x_{1} = \frac{- 3}{2} + \frac{1}{2} i \cdot \sqrt{6}$

3 个额外步骤

$x_{2} = \frac{(- 12 - 4 i \cdot \sqrt{6})}{8}$

拆分分数:

$x_{2} = \frac{- 12}{8} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

寻找分子与分母的最大公约数:

$x_{2} = \frac{(- 3 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

通过最大公约数简化分数:

$x_{2} = \frac{- 3}{2} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{6}}{8}$

简化分数:

$x_{2} = \frac{- 3}{2} + \frac{- 1}{2} i \cdot \sqrt{6}$

6. 求得区间

二次公式的判别式部分：

$b^{2} - 4 a c < 0$ 没有实数根。
$b^{2} - 4 a c = 0$ 有一个实数根。
$b^{2} - 4 a c > 0$ 有两个实数根。

不等式函数没有实数根，抛物线不与x轴交叉。取二次公式的平方根，而负数的平方根在实数线上未定义。

区间是 $(- \infty, \infty)$

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为什么学习这个

二次方程表达了弧线的路径以及沿线的点，而二次不等式表达了这些弧线内外的区域和覆盖的范围。换句话说，如果二次方程告诉我们边界在哪里，那么二次不等式则帮助我们理解相对于该边界，我们应该关注哪些内容。更实际地说，二次不等式被用来创建强大软件的复杂算法，并追踪随时间变化的情况，例如杂货店的价格。

术语和主题

二次不等式

解答 - 使用二次公式解决二次不等式

逐步解答

1. 简化表达式

2. 确定二次不等式的系数 a，b和c

3. 将这些系数插入到二次公式中

4. 简化根号下的 (−96)

5. 解出 x的方程

6. 求得区间

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2. 确定二次不等式的系数 $a$ ， $b$ 和 $c$

4. 简化根号下的 $\sqrt{(- 96)}$