老虎代数计算器

组合是指从一个集合中，对元素进行的一种排列方式，其中元素的顺序并不重要。例如，从一列表中随机选择三个数，例如先选择$$1$$，然后选择$$7$$，最后选择$$4$$，或者你先选择$$7$$，然后选择$$1$$，最后选择$$4$$，结果是一样的。
排列则是从一个集合中对元素进行的一种排列方式，其中元素的顺序很重要。例如，一个锁的代码就是一个例子。如果锁的代码是$$1,7,4$$，那么就不能输入为$$1,4,7$$，$$4,7,1$$或任何其他顺序。
只要一个集合中有多于一个的元素，那么排列的数量就总是多于组合的数量。

无论组合也好，排列也好，都可以有重复也可以没有重复，也就是说，它们可以包括一个或多个元素多次，也可以不包括。虽然看起来这似乎不会造成太大的差异，但在一个集合中重复的元素实际上是会大大改变我们应该如何处理它的。

符号
$$n$$ 通常代表集合中的总数目。
$$k$$ 通常代表所选子集的元素数量。
$$C$$ 通常代表组合。
$$P$$ 通常代表排列。

$$P\left(n,k\right)$$ 表示了从较大的集合 ($$n$$) 中选择子集 ($$k$$) 的不同排列方式，也可以写作：
缺失的图像
$$C\left(n,k\right)$$ 表示了从较大的集合 ($$n$$) 中选择子集 ($$k$$) 的不同组合方式，也可以写作：
缺失的图像
这个符号有时也被称为 “从n中选k”。

公式
我们在解决组合和排列问题时使用阶乘函数。

排列的重复
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
例如：当可以出现重复时，从9个项中选出的3个项的不同排列方式有多少个？
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$

没有重复的排列
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
例如：当不能出现重复时，从9个项中选出的3个项的不同排列方式有多少个？
$$P\left(9,3\right)=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

组合的重复
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
例如：当可以出现重复时，从9个项中选出的3个项的不同组合方式有多少个？
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

没有重复的组合 此链接到这个练习
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
例如：当不能出现重复时，从9个项中选出的3个项的不同组合方式有多少个？
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$