Máy tính giải toán Tiger Algebra

Phép tổ hợp là cách sắp xếp các phần tử trong một tập hợp khi thứ tự sắp xếp không quan trọng. Một ví dụ là chọn ba số ngẫu nhiên từ danh sách chín số. Sẽ không thành vấn đề nếu bạn chọn $$1$$ rồi $$7$$ rồi $$4$$ hoặc nếu bạn chọn $$7$$ rồi $$1$$ rồi $$4$$.
Phép hoán vị là cách sắp xếp các phần tử trong một tập hợp khi thứ tự sắp xếp quan trọng. Một ví dụ về phép này là mã số cho một ổ khóa. Nếu mã là $$1,7,4$$ thì bạn không thể nhập $$1,4,7$$ hoặc $$4,7,1$$ hoặc bất kỳ thứ tự nào khác.
Miễn là có nhiều hơn một phần tử trong một tập hợp thì sẽ luôn có nhiều phép hoán vị hơn phép tổ hợp.

Cả phép tổ hợp lẫn phép hoán vị có thể xảy ra có lặp lại hoặc không lặp lại, nghĩa là chúng chứa một hoặc nhiều phần tử nhiều lần hoặc không. Mặc dù điều này có vẻ không tạo ra nhiều khác biệt nhưng việc lặp lại các phần tử trong một tập hợp sẽ thay đổi đáng kể cách để chúng ta tiếp cận tập hợp đó.

Ký hiệu
$$n$$ thường là ký hiệu cho tổng số phần tử trong một tập hợp.
$$k$$ thường là ký hiệu cho số phần tử trong một tập hợp con đã được chọn.
$$C$$ thường là ký hiệu cho phép tổ hợp.
$$P$$ thường là ký hiệu cho phép hoán vị.

$$P\left(n,k\right)$$ biểu thị số lượng các hoán vị khác nhau của một tập hợp con ($$k$$) trong một tập hợp lớn hơn ($$n$$) và cũng có thể được viết dưới dạng:
THIẾU HÌNH ẢNH
$$C\left(n,k\right)$$ biểu thị số lượng các tổ hợp khác nhau của một tập hợp con ($$k$$) trong một tập hợp lớn hơn ($$n$$) và cũng có thể được viết dưới dạng:
THIẾU HÌNH ẢNH
Ký hiệu này đôi khi cũng được gọi là “n chọn k”.

Công thức
Chúng ta sử dụng hàm giai thừa khi giải các phép hoán vị và tổ hợp.

Hoán vị có lặp
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
VD: Có bao nhiêu hoán vị khác nhau của một tập hợp con gồm $$3$$ phần tử trong tổng số $$9$$ phần tử khi có thể xảy ra lặp?
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$

Hoán vị không lặp
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
VD: Có bao nhiêu hoán vị khác nhau của một tập hợp con gồm $$3$$ phần tử trong tổng số $$9$$ phần tử khi không thể xảy ra lặp?
$$P\left(9,3\right)=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

Tổ hợp có lặp
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
VD: Có bao nhiêu tổ hợp khác nhau của một tập hợp con gồm $$3$$ phần tử trong tổng số $$9$$ phần tử khi có thể xảy ra lặp?
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

Tổ hợp không lặp liên kết đến phần luyện tập này
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
VD: Có bao nhiêu tổ hợp khác nhau của một tập hợp con gồm $$3$$ phần tử trong tổng số $$9$$ phần tử khi không thể xảy ra lặp?
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$