Máy tính giải toán Tiger Algebra

Phân số biểu thị một phần nhỏ hơn của toàn bộ và thường được viết dưới dạng tử số đại diện cho phần nhỏ hơn trên mẫu số đại diện cho toàn bộ. Để biểu diễn phân số dưới dạng một số đơn lẻ hay thương số, chúng ta sẽ chia tử số cho mẫu số. Có ba loại phân số chính:

• Phân số thực sự: tử số nhỏ hơn mẫu số. $$1/4$$ là một phân số thực sự.


• Phân số không thực sự: tử số lớn hơn mẫu số. $$5/4$$ là một phân số không thực sự.


• Hỗn số: một số nguyên kết hợp với một phân số thực sự. $$2\frac{3}{4}$$ là một hỗn số.

Điều quan trọng cần lưu ý là các phân số không thực sự và hỗn số có thể được sử dụng để biểu diễn cùng một giá trị. Ví dụ, $$5/4=11/4$$. Để dễ dàng hơn cho việc thực hiện các phép toán có phân số, trước tiên, ta thường chuyển đổi các số nguyên hoặc hỗn số bất kỳ thành các phân số không thực sự:

• Để đổi một số nguyên thành một phân số không thực sự, chỉ cần ghi số nguyên đó trên $$1$$. Ví dụ, $$3$$ sẽ trở thành $$3/1$$.
• Để đổi một hỗn số thành một phân số không thực sự, hãy nhân mẫu số (số bên dưới) với số nguyên (số ở phía trước hoặc bên trái của phân số), cộng tích thu được với tử số (số bên trên) và viết tổng phía trên tử số thay cho tử số ban đầu. Ví dụ, khi đổi $$2\frac{3}{4}$$ thành một phân số không thực sự, chúng ta sẽ nhân mẫu số $$4$$ với số nguyên $$2$$ để được $$8$$. Sau đó, chúng ta sẽ cộng số này với tử số $$3$$ để được $$11$$ và ghi trên mẫu số ban đầu $$4$$ để được $$1\frac{1}{4}$$.

Cộng và trừ phân số

Quy tắc chung để cộng phân số là: $$a/b+c/d=\left(ad\right)/\left(bd\right)+\left(bc\right)/\left(bd\right)=\left(ad+bc\right)/\left(bd\right)$$ Quy tắc chung để trừ phân số là: $$a/b-c/d=\left(ad\right)/\left(bd\right)-\left(bc\right)/\left(bd\right)=\left(ad-bc\right)/\left(bd\right)$$ Có 4 bước để cộng và trừ phân số:

1. Rút gọn phân số bằng cách giản ước, nếu có thể. Chia tử số (số bên trên) và mẫu số (số bên dưới) cho ước chung lớn nhất (ƯCLN). ƯCLN của một tập hợp các số là số lớn nhất mà tất cả các số trong tập hợp có thể chia hết không có số dư. Ví dụ, $$3$$ là số lớn nhất mà $$3$$ và $$9$$ có thể chia hết, vì vậy chúng ta có thể chia tử số và mẫu số của $$3/9$$ cho $$3$$ để rút gọn thành $$1/3$$. Một ví dụ khác là $$4/16$$ có thể rút gọn thành $$1/4$$.


2. Tìm mẫu số chung của phân số. Có hai cách để tìm mẫu số chung:
   1. Nhân cả tử số và mẫu số của phân số này với mẫu số của phân số kia. Ví dụ, $$1/3+1/4=\left(1·4\right)/\left(3·4\right)+\left(1·3\right)/\left(4·3\right)=\left(1·4\right)/12+\left(1·3\right)/12=4/12+3/12$$
   2. Tìm mẫu số chung nhỏ nhất. Để làm điều này, chúng ta tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu số và dùng BCNN đó làm mẫu số chung. Có hai cách để tìm BCNN: liệt kê bội số của các số (sắp có trình giải toán này!) và phân tích thừa số nguyên tố.


3. Cộng hoặc trừ tử số. Tại thời điểm này, các phân số phải có cùng mẫu số, nghĩa là chúng ta có thể chỉ cần cộng hoặc trừ tử số và ghi kết quả phía trên mẫu số mà chúng ta đã tìm được ở các bước trước đó. Ví dụ, $$4/12+3/12$$ sẽ trở thành $$7/12$$.


4. Rút gọn phân số thu được bằng cách giản ước, nếu có thể, như đã mô tả trong bước 1 ở trên. Ví dụ, nếu kết quả là $$4/8$$, chúng ta sẽ rút gọn thành $$1/2$$.

Nhân phân số

Quy tắc chung để nhân phân số là: $$a/b·c/d=\left(a·c\right)/\left(b·d\right)$$ Có 4 bước để nhân phân số:

1. Rút gọn phân số bằng cách giản ước, nếu có thể. Chia tử số (số bên trên) và mẫu số (số bên dưới) cho ước chung lớn nhất (ƯCLN). ƯCLN của một tập hợp các số là số lớn nhất mà tất cả các số trong tập hợp có thể chia hết không có số dư. Ví dụ, $$3$$ là số lớn nhất mà $$3$$ và $$9$$ có thể chia hết, vì vậy chúng ta có thể chia tử số và mẫu số của $$3/9$$ cho $$3$$ để rút gọn thành $$1/3$$. Một ví dụ khác là $$4/16$$ có thể rút gọn thành $$1/4$$.


2. Nhân tử số (các số bên trên). Ví dụ, $$2/3*3/5$$ sẽ trở thành $$6/\left(3*5\right)$$


3. Nhân mẫu số (các số bên dưới). Ví dụ, $$6/\left(3*5\right)$$ sẽ trở thành $$6/15$$.


4. Rút gọn phân số thu được bằng cách giản ước, nếu có thể, như đã mô tả trong bước 1 ở trên. Ví dụ, nếu kết quả là $$4/8$$, chúng ta sẽ rút gọn thành $$1/2$$.

Chia phân số

Phép chia phân số cũng tương tự như phép nhân phân số nhưng có thêm một bước là hoán đổi tử số và mẫu số của số chia, tức là số mà chúng ta sẽ lấy phân số kia chia cho nó, để tìm số nghịch đảo của nó. Từ đây chúng ta chỉ cần nhân các phân số với nhau. Quy tắc chung để chia phân số là: $$\left(a/b\right):\left(c/d\right)=\left(a/b\right)·\left(d/c\right)=\left(a·d\right)/\left(b·c\right)$$ Có 5 bước để chia phân số:

1. Rút gọn phân số bằng cách giản ước, nếu có thể. Chia tử số (số bên trên) và mẫu số (số bên dưới) cho ước chung lớn nhất (ƯCLN). ƯCLN của một tập hợp các số là số lớn nhất mà tất cả các số trong tập hợp có thể chia hết không có số dư. Ví dụ, $$3$$ là số lớn nhất mà $$3$$ và $$9$$ có thể chia hết, vì vậy chúng ta có thể chia tử số và mẫu số của $$3/9$$ cho $$3$$ để rút gọn thành $$1/3$$. Một ví dụ khác là $$4/16$$ có thể rút gọn thành $$1/4$$.


2. Đảo ngược phân số chúng ta đang chia (số chia) để tử số ở bên dưới và mẫu số ở bên trên. Ví dụ, $$3/4:1/3$$ sẽ trở thành $$3/4*3/1$$.
   
3. Nhân tử số (các số bên trên). Ví dụ, $$2/3*3/5$$ sẽ trở thành $$6/\left(3*5\right)$$


4. Nhân mẫu số (các số bên dưới). Ví dụ, $$6/\left(3*5\right)$$ sẽ trở thành $$6/15$$.


5. Rút gọn phân số thu được bằng cách giản ước, nếu có thể, như đã mô tả trong bước 1 ở trên. Ví dụ, nếu kết quả là $$4/8$$, chúng ta sẽ rút gọn thành $$1/2$$.