калькулятор-для-алгебри
Системи лінійних рівнянь
Лінійні рівняння
Лінійне рівняння - це рівняння, яке представляє пряму лінію. Воно зазвичай має константи і змінні, які не можуть містити степені або корені, і зазвичай записується одним із наступних способів:
Форма точки перетину із графіком
Наприклад:
Вигляд нахилу графіка
Наприклад:
Стандартний формат
Наприклад:
Важливо: в цій формі, та не можуть бути обидві нуль ().
Хоча ці рівняння можуть виглядати різними, вони всі насправді представляють одну і ту ж лінію. Якщо у вас є графічний калькулятор, спробуйте побудувати графік кожного рівняння і порівняти результати. Графіки будуть однаковими!
Системи лінійних рівнянь
Іноді нам дають два або більше рівняння, які можуть бути виконані в однакових значеннях змінних.
Наприклад:
Коли та , обидва рівняння є правильними.
Це називаються системи лінійних рівнянь і ми можемо знайти їхні змінні, використовуючи один з двох методів: вилучення та підстановки.
Розв'язання методом вилучення
Основні кроки для розв'язання системи лінійних рівнянь методом вилучення:
1. Перепишіть рівняння так, щоб змінні були в тому ж порядку:
стане
2. Multiply one or both of the equations by non-zero numbers that would make one set of terms cancel each other out if added or subtracted:
стане
3. Add or subtract the equations to eliminate their common variable:
4. Solve the equation to isolate the remaining variable:
5. Plug this variable into one of the original equations and simplify to isolate the remaining variable:
Змінні, які відповідають обом рівнянням, це та або
6. Repeat as necessary, such as when there are more than two linear equations in the system.
Розв'язання методом підстановки
Основні кроки для розв'язання системи лінійних рівнянь методом підстановки:
1. Розв'яжіть для або в одному з рівнянь, ізолюючи змінну:
2. Підставте змінну в інше рівняння та розв'яжіть:
3. Підставте змінну в будь-яке з оригінальних рівнянь та розв'яжіть:
The variables that satisfy both equations are та або
4. Repeat as necessary, such as when there are more than two linear equations in the system.
Існує три можливих типи рішень для систем лінійних рівнянь:
Немає відповідей : Немає змінних, які б зробили всі рівняння в системі правильними. На графіку лінії, що представляють рівняння, не дотикаються. Якщо це лінійні рівняння, ці лінії були б паралельні одна одній.
Одне розв'язання : Існує один набір змінних, які зробили б всі рівняння в системі правильними. На графіку лінії, що представляють рівняння, перетинаються один раз. Точка, де вони перетинаються, є рішенням системи.
Безліч відповідей : Існує безліч змінних, які зробили б всі рівняння в системах правильними. Це відбувається, коли всі рівняння в системі є однаковими або є варіаціями одного та ж рівняння і, таким чином, представляють одну й ту ж лінію.
Інші відповідні терміни:
Узгоджені рівняння : два або більше рівнянь є узгодженими, коли вони мають одне або безліч рішень. Наприклад: та є узгодженими, оскільки вони мають одне рішення .
Несумісні рівняння : два або більше рівнянь є несумісними, коли вони не мають жодного спільного рішення, тобто їхні лінії не мають спільних точок. Лінії несумісних рівнянь біжуть паралельно одна одній. Наприклад: та є несумісними, оскільки має різне значення в кожному рівнянні, що означає, що рівняння не мають спільних рішень.
Незалежні рівняння : два або більше рівнянь є незалежними, коли вони представляють різні лінії.
Залежні рівняння : два або більше рівнянь є залежними, коли вони представляють одну й ту ж лінію, надаючи кожному рівнянню безліч рішень. Залежні рівняння виникають, коли рівняння записано в різних формах. Наприклад: та представляють одну й ту ж лінію і, отже, є залежними.
Лінійне рівняння - це рівняння, яке представляє пряму лінію. Воно зазвичай має константи і змінні, які не можуть містити степені або корені, і зазвичай записується одним із наступних способів:
Форма точки перетину із графіком
Наприклад:
Вигляд нахилу графіка
Наприклад:
Стандартний формат
Наприклад:
Важливо: в цій формі, та не можуть бути обидві нуль ().
Хоча ці рівняння можуть виглядати різними, вони всі насправді представляють одну і ту ж лінію. Якщо у вас є графічний калькулятор, спробуйте побудувати графік кожного рівняння і порівняти результати. Графіки будуть однаковими!
Системи лінійних рівнянь
Іноді нам дають два або більше рівняння, які можуть бути виконані в однакових значеннях змінних.
Наприклад:
Коли та , обидва рівняння є правильними.
Це називаються системи лінійних рівнянь і ми можемо знайти їхні змінні, використовуючи один з двох методів: вилучення та підстановки.
Розв'язання методом вилучення
Основні кроки для розв'язання системи лінійних рівнянь методом вилучення:
1. Перепишіть рівняння так, щоб змінні були в тому ж порядку:
стане
2. Multiply one or both of the equations by non-zero numbers that would make one set of terms cancel each other out if added or subtracted:
стане
3. Add or subtract the equations to eliminate their common variable:
4. Solve the equation to isolate the remaining variable:
5. Plug this variable into one of the original equations and simplify to isolate the remaining variable:
Змінні, які відповідають обом рівнянням, це та або
6. Repeat as necessary, such as when there are more than two linear equations in the system.
Розв'язання методом підстановки
Основні кроки для розв'язання системи лінійних рівнянь методом підстановки:
1. Розв'яжіть для або в одному з рівнянь, ізолюючи змінну:
2. Підставте змінну в інше рівняння та розв'яжіть:
3. Підставте змінну в будь-яке з оригінальних рівнянь та розв'яжіть:
The variables that satisfy both equations are та або
4. Repeat as necessary, such as when there are more than two linear equations in the system.
Існує три можливих типи рішень для систем лінійних рівнянь:
Немає відповідей : Немає змінних, які б зробили всі рівняння в системі правильними. На графіку лінії, що представляють рівняння, не дотикаються. Якщо це лінійні рівняння, ці лінії були б паралельні одна одній.
Одне розв'язання : Існує один набір змінних, які зробили б всі рівняння в системі правильними. На графіку лінії, що представляють рівняння, перетинаються один раз. Точка, де вони перетинаються, є рішенням системи.
Безліч відповідей : Існує безліч змінних, які зробили б всі рівняння в системах правильними. Це відбувається, коли всі рівняння в системі є однаковими або є варіаціями одного та ж рівняння і, таким чином, представляють одну й ту ж лінію.
Інші відповідні терміни:
Узгоджені рівняння : два або більше рівнянь є узгодженими, коли вони мають одне або безліч рішень. Наприклад: та є узгодженими, оскільки вони мають одне рішення .
Несумісні рівняння : два або більше рівнянь є несумісними, коли вони не мають жодного спільного рішення, тобто їхні лінії не мають спільних точок. Лінії несумісних рівнянь біжуть паралельно одна одній. Наприклад: та є несумісними, оскільки має різне значення в кожному рівнянні, що означає, що рівняння не мають спільних рішень.
Незалежні рівняння : два або більше рівнянь є незалежними, коли вони представляють різні лінії.
Залежні рівняння : два або більше рівнянь є залежними, коли вони представляють одну й ту ж лінію, надаючи кожному рівнянню безліч рішень. Залежні рівняння виникають, коли рівняння записано в різних формах. Наприклад: та представляють одну й ту ж лінію і, отже, є залежними.