калькулятор-для-алгебри

Абсолютне значення

Абсолютне значення (іноді називають модулем або величиною) - це відстань числа, члену, полінома або виразу від нуля, незалежно від того, чи є воно додатним або від'ємним. Наприклад: $$4$$ та $$-4$$ знаходяться на однаковій відстані від $$0$$, тому вони мають однакове абсолютне значення $$4$$.


Абсолютне значення позначається двома прямими, одна з кожного боку числа, члену, полінома або виразу. Наприклад, абсолютне значення $$-4$$ записують як $$|-4|$$

Властивості абсолютних значень

• Невід’ємність: $$\left|x\right|\ge 0$$
  Абсолютне значення завжди невід’ємне, що означає, що воно завжди надає нуль або позитивний результат.


• $$\left|x\right|=\sqrt{x^2}$$: Піднесення числа до квадрату робить його позитивним (або нулем, якщо число дорівнює нулю), і, знімаючи квадратний корінь з квадратного числа, ми отримуємо позитивний результат (або нуль, якщо число дорівнює нулю). Це працює лише тоді, коли $$x$$ - дійсне число.


• Мультиплікативність: $$|x·y|=\left|x\right|·\left|y\right|$$
  Абсолютне значення добутку двох чисел дорівнює добутку абсолютних значень кожного числа.


• Субадитивність: $$|x+y|\le \left|x\right|+\left|y\right|$$
  Абсолютне значення суми двох дійсних чисел менше або дорівнює сумі абсолютних значень двох чисел.


• $$\left|x\right|=y\to x=\pm y$$ або $$\left|x\right|=\pm x$$: Якщо абсолютне значення $$x$$ дорівнює $$y$$, то $$x$$ дорівнює плюс або мінус $$y$$. Це правило використовується для розв'язання більшості питань абсолютного значення.

Рівняння абсолютного значення

Це рівняння, у яких змінна знаходиться в середині оператора абсолютного значення. Наприклад: $$|x-4|=10$$
Оскільки значення $$x-4$$ може бути $$10$$ або $$-10$$, кожне з яких має абсолютне значення $$10$$, ми повинні врахувати обидва випадки: $$x-4=10$$ та $$x-4=-10$$. Це можна записати як $$x-4=\pm 10$$.

Тому, $$|x-4|=10$$ має два рішення:
$$x-4=10$$ → $$x=14$$
$$x-4=-10$$ → $$x=-6$$

Оскільки абсолютні значення завжди невід'ємні, існують рівняння, що не мають розв'язків.
Наприклад: $$|x-5|=-9$$

Рівняння та нерівності абсолютного значення розв'язуються і пояснюються крок за кроком за допомогою модуля абсолютного значення Tiger Algebra.