калькулятор-для-алгебри

Комбінація - це спосіб упорядкування елементів з множини, коли порядок упорядкування не має значення. Прикладом може слугувати вибір трьох випадкових чисел з списку дев'яти. Не важливо, вибрали ви спочатку $$1$$, потім $$7$$, а потім $$4$$, чи спочатку $$7$$, потім $$1$$, а потім $$4$$.
Перестановка - це спосіб упорядкування елементів з множини, коли порядок упорядкування має значення. Прикладом цього може бути код до замку. Якщо код - $$1,7,4$$, то він не може бути введений як $$1,4,7$$ або $$4,7,1$$ або в будь-якому іншому порядку.
Доки в множині більше одного елемента, перестановок завжди буде більше, ніж комбінацій.

Як комбінації, так і перестановки можуть відбуватися з повторенням або без нього, це означає, що вони або містять один або більше предметів кілька разів, або ні. Хоча це може здаватися не так важливим, повторення предметів у наборі значно змінює спосіб, яким ми повинні підійти до його обробки.

Нотація
$$n$$ зазвичай представляє загальну кількість предметів у множині.
$$k$$ зазвичай представляє кількість предметів у вибраній підмножині.
$$C$$ зазвичай представляє комбінації.
$$P$$ зазвичай представляє перестановки.

$$P\left(n,k\right)$$ представляє кількість різних перестановок підмножини ($$k$$) з більшої множини ($$n$$) і також може бути записано як:
ВІДСУТНІЙ ЗОБРАЖЕННЯ
$$C\left(n,k\right)$$ представляє кількість різних комбінацій підмножини ($$k$$) з більшої множини ($$n$$) і також може бути записано як:
ВІДСУТНІЙ ЗОБРАЖЕННЯ
Зазначимо, що така нотація інколи називається "вибрати n з k".

Формули
Ми використовуємо факториал при розв'язанні комбінацій і перестановок.

Перестановки з повторенням
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
Приклад: Скільки різних перестановок підмножини з $$3$$ з загальної кількості $$9$$ предметів можна зробити, коли повторення можливі?
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$

Перестановки без повторення
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
Приклад: Скільки різних перестановок підмножини з $$3$$ з загальної кількості $$9$$ предметів можна зробити, коли повторення не можливі?
$$P\left(9,3\right)=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

Комбінації з повторенням
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
Приклад: Скільки різних комбінацій підмножини з $$3$$ з загальної кількості $$9$$ предметів можна зробити, коли повторення можливі?
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

Комбінації без повторень посилання на цей вправу
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
Приклад: Скільки різних комбінацій підмножини з $$3$$ з загальної кількості $$9$$ предметів можна зробити, коли повторення не можливі?
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$