калькулятор-для-алгебри

Геометрична прогресія, також називається геометрична серія або геометрична прогресія, є набором чисел, сформованим шляхом множення кожного попереднього числа в наборі на константу. Фактор, на який множиться кожний наступний термін, називається загальним співвідношенням, тому що він є загальним для всіх термінів в наборі. Загальне співвідношення не може бути рівним $$0$$ $$\left(r\ne 0\right)$$.
Стандартна форма геометричних прогресій може бути виражена як:
$$a,a·r,a·r^2,a·r^3,a·r^{\mathrm{4...}}$$ в якому:

• $$a$$ представляє перший член і іноді записується як $$a_1$$.
• $$r$$ представляє загальне співвідношення.

Приклад: якщо перший член послідовності $$1$$ а загальне співвідношення $$3$$, то кожний наступний член можна отримати, помноживши попередній член на 3, і послідовність буде виглядати так:
$$1,3,9,27,\mathrm{81...}$$
що також може бути записано як:
$$1,1·3,1·3^2,1·3^3,1·3^{\mathrm{4...}}$$

Формули
Знаходження будь-якого терміна ($$a_n$$) в геометричній прогресії:
$$a_n=a·r^{n-1}$$

• $$a$$ представляє перший термін.
• $$n$$ представляє позицію терміна в послідовності. Послідовність з $$n$$ числом термінів, наприклад, записуватиметься як:
  $$a,a·r,a·r^2,a·r^3,a·r^{\mathrm{4...}}a·r^{n-1}$$ в якому останній термін піднімається до степеня $$n-1$$ (тому що перший термін піднімається до степеня $$0$$).
• $$r$$ представляє загальне співвідношення.

Приклад: Щоб знайти наступний термін в $$1,3,9,27,\mathrm{81...}$$ який буде 6-м терміном, ми вставляємо наступне в формулу загального терміну, $$a_n=a·r^{n-1}$$:
$$a$$ (перший термін)$$=1$$
$$r$$ (загальне співвідношення)$$=3$$
$$n$$ (номер терміну)$$=6$$.

Це дасть нам $$a_6=1·3^{6-1}$$, which we could solve to get $$a_6=243$$. So, our sequence would be: $$1,3,9,27,81,\mathrm{243...}$$

Знаходження суми всіх членів геометричної прогресії:
$$s=a\left(\left(1-r^n\right)/\left(1-r\right)\right)$$

• $$s$$ є сумою термінів в послідовності.
• $$a$$ представляє перший термін.
• $$n$$ представляє позицію терміну в послідовності.
• $$r$$ представляє загальне співвідношення.

Приклад: Щоб знайти суму $$1,3,9,27,81$$ ми вставляємо наступне в формулу суми, $$s=a\left(\left(1-r^n\right)/\left(1-r\right)\right)$$:
$$a$$ (перший термін)$$=1$$
$$r$$ (загальне співвідношення)$$=3$$
$$n$$ (загальна кількість термінів)$$=5$$.

Це дасть нам $$s=1\left(\left(1-3^5\right)/\left(1-3\right)\right)$$, який ми можемо розв'язати, щоб отримати $$s=121$$.