Введіть рівняння або задачу

Камера не розпізнає вхід!

Рішення - Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою доповнення до квадрату

Точна форма:

y_{1} = \frac{7}{10} + \frac{\sqrt{29}}{10}

y_1=\frac{7}{10}+\frac{\sqrt{29}}{10}

y_{2} = \frac{7}{10} - \frac{\sqrt{29}}{10}

y_2=\frac{7}{10}-\frac{\sqrt{29}}{10}

Десяткова форма:

y_{1} = 1, 239

y_1=1,239

y_{2} = 0, 161

y_2=0,161

Подивитися кроки

Покрокове пояснення

1. V2-QuadraticEquationsbyCompletingTheSquare-Step36-Title

Використовуйте стандартну форму квадратного рівняння, $a x^{2} + b x + c = 0$ , щоб знайти коефіцієнти:

$5 y^{2} - 7 y + 1 = 0$

$a = 5$
$b = - 7$
$c = 1$

2. V2-QuadraticEquationsbyCompletingTheSquare-Step37-Title

Оскільки $a = 5$ , поділіть усі коефіцієнти та константи на обидві сторони рівняння на $5$ :

$5 y^{2} - 7 y + 1 = 0$

$\frac{5}{5} y^{2} - 7 \frac{y}{5} + \frac{1}{5} = \frac{0}{5}$

Спростіть вираз

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{1}{5} = 0$

Коефіцієнти дорівнюють:
$a = 1$
$b = - \frac{7}{5}$
$c = \frac{1}{5}$

3. V2-QuadraticEquationsbyCompletingTheSquare-Step28-Title

Додайте $\frac{1}{5}$ до обох сторін рівняння:

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{1}{5} = 0$

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{1}{5} - \frac{1}{5} = 0 - \frac{1}{5}$

$y^{2} - \frac{7}{5} y = - \frac{1}{5}$

4. V2-QuadraticEquationsbyCompletingTheSquare-Step29-Title

Щоб перетворити ліву сторону рівняння в ідеальний квадратний тричлен, додайте до рівняння нову константу, яка дорівнює ${(\frac{b}{2})}^{2}$ :

$b = - \frac{7}{5}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- \frac{7}{5}}{2})}^{2}$

Використовуйте правило дробових показників ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- \frac{7}{5}}{2})}^{2} = \frac{{(- \frac{7}{5})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(- \frac{7}{5})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{49}{25}}{4}$

$\frac{\frac{49}{25}}{4} = \frac{49}{25} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{49}{25} \cdot \frac{1}{4} = \frac{49}{100}$

Додайте $\frac{49}{100}$ до обох сторін рівняння:

5 додаткові steps

$y^{2} - \frac{7}{5} y = - \frac{1}{5}$

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{49}{100} = - \frac{1}{5} + \frac{49}{100}$

Знайдіть найменший спільний знаменник:

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{49}{100} = \frac{(- 1 \cdot 20)}{(5 \cdot 20)} + \frac{49}{100}$

Помножте знаменники:

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{49}{100} = \frac{(- 1 \cdot 20)}{100} + \frac{49}{100}$

Помножте чисельники:

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{49}{100} = \frac{- 20}{100} + \frac{49}{100}$

Об'єднайте дроби:

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{49}{100} = \frac{(- 20 + 49)}{100}$

Об'єднайте чисельники:

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{49}{100} = \frac{29}{100}$

Тепер у нас є ідеальний квадратний тричлен, ми можемо записати його у формі ідеального квадрату, додавши до нього половину коефіцієнту $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = - \frac{7}{5}$

2 додаткові steps

$\frac{b}{2} = \frac{- \frac{7}{5}}{2}$

Спростіть ділення:

$\frac{b}{2} = \frac{- 7}{(5 \cdot 2)}$

Спростіть арифметику:

$\frac{b}{2} = \frac{- 7}{10}$

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{49}{100} = \frac{29}{100}$

${(y - \frac{7}{10})}^{2} = \frac{29}{100}$

5. V2-QuadraticEquationsbyCompletingTheSquare-Step30-Title

Знайдіть квадратний корінь з обох сторін рівняння: ВАЖЛИВО: При знаходженні квадратного кореня з константи, ми отримуємо два розв'язки: позитивний і негативний

${(y - \frac{7}{10})}^{2} = \frac{29}{100}$

$\sqrt{{(y - \frac{7}{10})}^{2}} = \sqrt{\frac{29}{100}}$

Скасуйте квадрат і квадратний корінь зліва від рівняння:

$y - \frac{7}{10} = \pm \sqrt{\frac{29}{100}}$

Додайте $\frac{7}{10}$ до обох сторін

$y - \frac{7}{10} + \frac{7}{10} = \frac{7}{10} \pm \sqrt{\frac{29}{100}}$

Спростіть ліву сторону:

$y = \frac{7}{10} \pm \sqrt{\frac{29}{100}}$

$y = \frac{7}{10} \pm \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{100}}$

$y = \frac{7}{10} \pm \frac{\sqrt{29}}{10}$

$y_{1} = \frac{7}{10} + \frac{\sqrt{29}}{10}$
$y_{2} = \frac{7}{10} - \frac{\sqrt{29}}{10}$

Як ми з цим впорались?

Будь ласка, залиште відгук.

Чому вчити це

У своїй найпростішій функції квадратні рівняння визначають форми, такі як круги, еліпси та параболи. За їх допомогою можна прогнозувати криві предмета в русі, наприклад, м'яча, кинутого футболістом або вибитого з гармати.
Щодо руху предмета у просторі, яке краще місце, ніж сам космос, із революцією планет навколо сонця у нашій сонячній системі. За допомогою квадратного рівняння було встановлено, що орбіти планет є еліптичними, а не круговими. Визначення шляху та швидкості, з якою предмет проходить через простір, є можливим навіть після його зупинки: квадратне рівняння може розрахувати, якою швидкістю рухався транспортний засіб при аварії. З такою інформацією автомобільна промисловість може розробляти гальма для запобігання зіткнень у майбутньому. Багато галузей використовують квадратне рівняння, щоб прогнозувати і тим самим покращувати термін служби та безпеку своєї продукції.

Терміни та теми

Розв'язання квадратних рівнянь шляхом доповнення до квадрата