Введіть рівняння або задачу

Камера не розпізнає вхід!

Рішення - Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою доповнення до квадрату

Точна форма:

z_{1} = \frac{13}{8} + \frac{\sqrt{329}}{8}

z_1=\frac{13}{8}+\frac{\sqrt{329}}{8}

z_{2} = \frac{13}{8} - \frac{\sqrt{329}}{8}

z_2=\frac{13}{8}-\frac{\sqrt{329}}{8}

Десяткова форма:

z_{1} = 3, 892

z_1=3,892

z_{2} = - 0, 642

z_2=-0,642

Подивитися кроки

Покрокове пояснення

1. V2-QuadraticEquationsbyCompletingTheSquare-Step36-Title

Використовуйте стандартну форму квадратного рівняння, $a x^{2} + b x + c = 0$ , щоб знайти коефіцієнти:

$4 z^{2} - 13 z - 10 = 0$

$a = 4$
$b = - 13$
$c = - 10$

2. V2-QuadraticEquationsbyCompletingTheSquare-Step37-Title

Оскільки $a = 4$ , поділіть усі коефіцієнти та константи на обидві сторони рівняння на $4$ :

$4 z^{2} - 13 z - 10 = 0$

$\frac{4}{4} z^{2} - 13 \frac{z}{4} - \frac{10}{4} = \frac{0}{4}$

Спростіть вираз

$z^{2} - \frac{13}{4} z - \frac{5}{2} = 0$

Коефіцієнти дорівнюють:
$a = 1$
$b = - \frac{13}{4}$
$c = - \frac{5}{2}$

3. V2-QuadraticEquationsbyCompletingTheSquare-Step28-Title

Додайте $\frac{5}{2}$ до обох сторін рівняння:

$z^{2} - \frac{13}{4} z - \frac{5}{2} = 0$

$z^{2} - \frac{13}{4} z - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 0 + \frac{5}{2}$

$z^{2} - \frac{13}{4} z = \frac{5}{2}$

4. V2-QuadraticEquationsbyCompletingTheSquare-Step29-Title

Щоб перетворити ліву сторону рівняння в ідеальний квадратний тричлен, додайте до рівняння нову константу, яка дорівнює ${(\frac{b}{2})}^{2}$ :

$b = - \frac{13}{4}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- \frac{13}{4}}{2})}^{2}$

Використовуйте правило дробових показників ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- \frac{13}{4}}{2})}^{2} = \frac{{(- \frac{13}{4})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(- \frac{13}{4})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{169}{16}}{4}$

$\frac{\frac{169}{16}}{4} = \frac{169}{16} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{169}{16} \cdot \frac{1}{4} = \frac{169}{64}$

Додайте $\frac{169}{64}$ до обох сторін рівняння:

5 додаткові steps

$z^{2} - \frac{13}{4} z = \frac{5}{2}$

$z^{2} - \frac{13}{4} z + \frac{169}{64} = \frac{5}{2} + \frac{169}{64}$

Знайдіть найменший спільний знаменник:

$z^{2} - \frac{13}{4} z + \frac{169}{64} = \frac{(5 \cdot 32)}{(2 \cdot 32)} + \frac{169}{64}$

Помножте знаменники:

$z^{2} - \frac{13}{4} z + \frac{169}{64} = \frac{(5 \cdot 32)}{64} + \frac{169}{64}$

Помножте чисельники:

$z^{2} - \frac{13}{4} z + \frac{169}{64} = \frac{160}{64} + \frac{169}{64}$

Об'єднайте дроби:

$z^{2} - \frac{13}{4} z + \frac{169}{64} = \frac{(160 + 169)}{64}$

Об'єднайте чисельники:

$z^{2} - \frac{13}{4} z + \frac{169}{64} = \frac{329}{64}$

Тепер у нас є ідеальний квадратний тричлен, ми можемо записати його у формі ідеального квадрату, додавши до нього половину коефіцієнту $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = - \frac{13}{4}$

2 додаткові steps

$\frac{b}{2} = \frac{- \frac{13}{4}}{2}$

Спростіть ділення:

$\frac{b}{2} = \frac{- 13}{(4 \cdot 2)}$

Спростіть арифметику:

$\frac{b}{2} = \frac{- 13}{8}$

$z^{2} - \frac{13}{4} z + \frac{169}{64} = \frac{329}{64}$

${(z - \frac{13}{8})}^{2} = \frac{329}{64}$

5. V2-QuadraticEquationsbyCompletingTheSquare-Step30-Title

Знайдіть квадратний корінь з обох сторін рівняння: ВАЖЛИВО: При знаходженні квадратного кореня з константи, ми отримуємо два розв'язки: позитивний і негативний

${(z - \frac{13}{8})}^{2} = \frac{329}{64}$

$\sqrt{{(z - \frac{13}{8})}^{2}} = \sqrt{\frac{329}{64}}$

Скасуйте квадрат і квадратний корінь зліва від рівняння:

$z - \frac{13}{8} = \pm \sqrt{\frac{329}{64}}$

Додайте $\frac{13}{8}$ до обох сторін

$z - \frac{13}{8} + \frac{13}{8} = \frac{13}{8} \pm \sqrt{\frac{329}{64}}$

Спростіть ліву сторону:

$z = \frac{13}{8} \pm \sqrt{\frac{329}{64}}$

$z = \frac{13}{8} \pm \frac{\sqrt{329}}{\sqrt{64}}$

$z = \frac{13}{8} \pm \frac{\sqrt{329}}{8}$

$z_{1} = \frac{13}{8} + \frac{\sqrt{329}}{8}$
$z_{2} = \frac{13}{8} - \frac{\sqrt{329}}{8}$

Як ми з цим впорались?

Будь ласка, залиште відгук.

Чому вчити це

У своїй найпростішій функції квадратні рівняння визначають форми, такі як круги, еліпси та параболи. За їх допомогою можна прогнозувати криві предмета в русі, наприклад, м'яча, кинутого футболістом або вибитого з гармати.
Щодо руху предмета у просторі, яке краще місце, ніж сам космос, із революцією планет навколо сонця у нашій сонячній системі. За допомогою квадратного рівняння було встановлено, що орбіти планет є еліптичними, а не круговими. Визначення шляху та швидкості, з якою предмет проходить через простір, є можливим навіть після його зупинки: квадратне рівняння може розрахувати, якою швидкістю рухався транспортний засіб при аварії. З такою інформацією автомобільна промисловість може розробляти гальма для запобігання зіткнень у майбутньому. Багато галузей використовують квадратне рівняння, щоб прогнозувати і тим самим покращувати термін служби та безпеку своєї продукції.

Терміни та теми

Розв'язання квадратних рівнянь шляхом доповнення до квадрата