Рішення - Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою доповнення до квадрату

Використовуйте стандартну форму квадратного рівняння, $$a{x}^2+bx+c=0$$ , щоб знайти коефіцієнти:

$$2x^2+13x-23=0$$

$$a=2$$
$$b=13$$
$$c=-23$$

Оскільки $$a=2$$, поділіть усі коефіцієнти та константи на обидві сторони рівняння на $$2$$:

$$2x^2+13x-23=0$$

$$\frac{2}{2}{x}^2+13\frac{x}{2}-\frac{23}{2}=\frac{0}{2}$$

$$x^2+\frac{13}{2}x-\frac{23}{2}=0$$

Коефіцієнти дорівнюють:
$$a=1$$
$$b=\frac{13}{2}$$
$$c=-\frac{23}{2}$$

Додайте $$\frac{23}{2}$$ до обох сторін рівняння:

$$x^2+\frac{13}{2}x-\frac{23}{2}=0$$

$$x^2+\frac{13}{2}x-\frac{23}{2}+\frac{23}{2}=0+\frac{23}{2}$$

$$x^2+\frac{13}{2}x=\frac{23}{2}$$

Щоб перетворити ліву сторону рівняння в ідеальний квадратний тричлен, додайте до рівняння нову константу, яка дорівнює $${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$ :

$$b=\frac{13}{2}$$

Додайте $$\frac{169}{16}$$ до обох сторін рівняння:

Тепер у нас є ідеальний квадратний тричлен, ми можемо записати його у формі ідеального квадрату, додавши до нього половину коефіцієнту $$b$$, $$\frac{b}{2}$$ :
$$b=\frac{13}{2}$$

$$x^2+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{353}{16}$$

$${\left(x+\frac{13}{4}\right)}^2=\frac{353}{16}$$

Знайдіть квадратний корінь з обох сторін рівняння: ВАЖЛИВО: При знаходженні квадратного кореня з константи, ми отримуємо два розв'язки: позитивний і негативний

$${\left(x+\frac{13}{4}\right)}^2=\frac{353}{16}$$

$$\sqrt{{\left(x+\frac{13}{4}\right)}^2}=\sqrt{\frac{353}{16}}$$

$$x+\frac{13}{4}=\pm \sqrt{\frac{353}{16}}$$

$$x+\frac{13}{4}-\frac{13}{4}=-\frac{13}{4}\pm \sqrt{\frac{353}{16}}$$

$$x=-\frac{13}{4}\pm \sqrt{\frac{353}{16}}$$

$$x=-\frac{13}{4}\pm \frac{\sqrt{353}}{\sqrt{16}}$$

$$x=-\frac{13}{4}\pm \frac{\sqrt{353}}{4}$$

$$x_1=-\frac{13}{4}+\frac{\sqrt{353}}{4}$$
$$x_2=-\frac{13}{4}-\frac{\sqrt{353}}{4}$$