Рішення - Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою доповнення до квадрату

Оскільки $$a=11$$, поділіть усі коефіцієнти та константи на обидві сторони рівняння на $$11$$:

$$11x^2-33x-218=0$$

$$\frac{11}{11}{x}^2-33\frac{x}{11}-\frac{218}{11}=\frac{0}{11}$$

$$x^2-3x-\frac{218}{11}=0$$

Коефіцієнти дорівнюють:
$$a=1$$
$$b=-3$$
$$c=-\frac{218}{11}$$

Додайте $$\frac{218}{11}$$ до обох сторін рівняння:

$$x^2-3x-\frac{218}{11}=0$$

$$x^2-3x-\frac{218}{11}+\frac{218}{11}=0+\frac{218}{11}$$

$$x^2-3x=\frac{218}{11}$$

Щоб перетворити ліву сторону рівняння в ідеальний квадратний тричлен, додайте до рівняння нову константу, яка дорівнює $${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$ :

$$b=-3$$

Додайте $$\frac{9}{4}$$ до обох сторін рівняння:

Тепер у нас є ідеальний квадратний тричлен, ми можемо записати його у формі ідеального квадрату, додавши до нього половину коефіцієнту $$b$$, $$\frac{b}{2}$$ :
$$b=-3$$

$$x^2-3x+\frac{9}{4}=\frac{971}{44}$$

$${\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{971}{44}$$

Знайдіть квадратний корінь з обох сторін рівняння: ВАЖЛИВО: При знаходженні квадратного кореня з константи, ми отримуємо два розв'язки: позитивний і негативний

$${\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{971}{44}$$

$$\sqrt{{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{971}{44}}$$

$$x-\frac{3}{2}=\pm \sqrt{\frac{971}{44}}$$

$$x-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{971}{44}}$$

$$x=\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{971}{44}}$$

$$x=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{971}}{\sqrt{44}}$$

$$x=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{971}·\sqrt{44}}{\sqrt{44}·\sqrt{44}}$$

$$x=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{42724}}{44}$$

$$x=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{2·2·11·971}}{44}$$

$$x=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{2^2·11·971}}{44}$$

$$x=\frac{3}{2}\pm \frac{2·\sqrt{11·971}}{44}$$

$$x=\frac{3}{2}\pm \frac{2·\sqrt{10681}}{44}$$

$$x=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{10681}}{22}$$

$$x_1=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{10681}}{22}$$
$$x_2=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{10681}}{22}$$