Введіть рівняння або задачу

Камера не розпізнає вхід!

Рішення - Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою доповнення до квадрату

Точна форма:

z_{1} = - \frac{4}{5} + \frac{\sqrt{6}}{5}

z_1=-\frac{4}{5}+\frac{\sqrt{6}}{5}

z_{2} = - \frac{4}{5} - \frac{\sqrt{6}}{5}

z_2=-\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{6}}{5}

Десяткова форма:

z_{1} = - 0, 31

z_1=-0,31

z_{2} = - 1, 29

z_2=-1,29

Подивитися кроки

Покрокове пояснення

1. V2-QuadraticEquationsbyCompletingTheSquare-Step36-Title

Використовуйте стандартну форму квадратного рівняння, $a x^{2} + b x + c = 0$ , щоб знайти коефіцієнти:

$- 5 z^{2} - 8 z - 2 = 0$

$a = - 5$
$b = - 8$
$c = - 2$

2. V2-QuadraticEquationsbyCompletingTheSquare-Step37-Title

Оскільки $a = - 5$ , поділіть усі коефіцієнти та константи на обидві сторони рівняння на $- 5$ :

$- 5 z^{2} - 8 z - 2 = 0$

$- \frac{5}{-} 5 z^{2} - 8 \frac{z}{-} 5 - \frac{2}{-} 5 = \frac{0}{-} 5$

Спростіть вираз

$z^{2} + \frac{8}{5} z + \frac{2}{5} = 0$

Коефіцієнти дорівнюють:
$a = 1$
$b = \frac{8}{5}$
$c = \frac{2}{5}$

3. V2-QuadraticEquationsbyCompletingTheSquare-Step28-Title

Додайте $\frac{2}{5}$ до обох сторін рівняння:

$z^{2} + \frac{8}{5} z + \frac{2}{5} = 0$

$z^{2} + \frac{8}{5} z + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} = 0 - \frac{2}{5}$

$z^{2} + \frac{8}{5} z = - \frac{2}{5}$

4. V2-QuadraticEquationsbyCompletingTheSquare-Step29-Title

Щоб перетворити ліву сторону рівняння в ідеальний квадратний тричлен, додайте до рівняння нову константу, яка дорівнює ${(\frac{b}{2})}^{2}$ :

$b = \frac{8}{5}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{\frac{8}{5}}{2})}^{2}$

Використовуйте правило дробових показників ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{\frac{8}{5}}{2})}^{2} = \frac{{(\frac{8}{5})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(\frac{8}{5})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{64}{25}}{4}$

$\frac{\frac{64}{25}}{4} = \frac{64}{25} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{64}{25} \cdot \frac{1}{4} = \frac{16}{25}$

Додайте $\frac{16}{25}$ до обох сторін рівняння:

5 додаткові steps

$z^{2} + \frac{8}{5} z = - \frac{2}{5}$

$z^{2} + \frac{8}{5} z + \frac{16}{25} = - \frac{2}{5} + \frac{16}{25}$

Знайдіть найменший спільний знаменник:

$z^{2} + \frac{8}{5} z + \frac{16}{25} = \frac{(- 2 \cdot 5)}{(5 \cdot 5)} + \frac{16}{25}$

Помножте знаменники:

$z^{2} + \frac{8}{5} z + \frac{16}{25} = \frac{(- 2 \cdot 5)}{25} + \frac{16}{25}$

Помножте чисельники:

$z^{2} + \frac{8}{5} z + \frac{16}{25} = \frac{- 10}{25} + \frac{16}{25}$

Об'єднайте дроби:

$z^{2} + \frac{8}{5} z + \frac{16}{25} = \frac{(- 10 + 16)}{25}$

Об'єднайте чисельники:

$z^{2} + \frac{8}{5} z + \frac{16}{25} = \frac{6}{25}$

Тепер у нас є ідеальний квадратний тричлен, ми можемо записати його у формі ідеального квадрату, додавши до нього половину коефіцієнту $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = \frac{8}{5}$

2 додаткові steps

$\frac{b}{2} = \frac{\frac{8}{5}}{2}$

Спростіть ділення:

$\frac{b}{2} = \frac{8}{(5 \cdot 2)}$

Скасуйте члени:

$\frac{b}{2} = \frac{4}{5}$

$z^{2} + \frac{8}{5} z + \frac{16}{25} = \frac{6}{25}$

${(z + \frac{4}{5})}^{2} = \frac{6}{25}$

5. V2-QuadraticEquationsbyCompletingTheSquare-Step30-Title

Знайдіть квадратний корінь з обох сторін рівняння: ВАЖЛИВО: При знаходженні квадратного кореня з константи, ми отримуємо два розв'язки: позитивний і негативний

${(z + \frac{4}{5})}^{2} = \frac{6}{25}$

$\sqrt{{(z + \frac{4}{5})}^{2}} = \sqrt{\frac{6}{25}}$

Скасуйте квадрат і квадратний корінь зліва від рівняння:

$z + \frac{4}{5} = \pm \sqrt{\frac{6}{25}}$

Відніміть $\frac{4}{5}$ від обох сторін

$z + \frac{4}{5} - \frac{4}{5} = - \frac{4}{5} \pm \sqrt{\frac{6}{25}}$

Спростіть ліву сторону:

$z = - \frac{4}{5} \pm \sqrt{\frac{6}{25}}$

$z = - \frac{4}{5} \pm \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{25}}$

$z = - \frac{4}{5} \pm \frac{\sqrt{6}}{5}$

$z_{1} = - \frac{4}{5} + \frac{\sqrt{6}}{5}$
$z_{2} = - \frac{4}{5} - \frac{\sqrt{6}}{5}$

Як ми з цим впорались?

Будь ласка, залиште відгук.

Чому вчити це

У своїй найпростішій функції квадратні рівняння визначають форми, такі як круги, еліпси та параболи. За їх допомогою можна прогнозувати криві предмета в русі, наприклад, м'яча, кинутого футболістом або вибитого з гармати.
Щодо руху предмета у просторі, яке краще місце, ніж сам космос, із революцією планет навколо сонця у нашій сонячній системі. За допомогою квадратного рівняння було встановлено, що орбіти планет є еліптичними, а не круговими. Визначення шляху та швидкості, з якою предмет проходить через простір, є можливим навіть після його зупинки: квадратне рівняння може розрахувати, якою швидкістю рухався транспортний засіб при аварії. З такою інформацією автомобільна промисловість може розробляти гальма для запобігання зіткнень у майбутньому. Багато галузей використовують квадратне рівняння, щоб прогнозувати і тим самим покращувати термін служби та безпеку своєї продукції.

Терміни та теми

Розв'язання квадратних рівнянь шляхом доповнення до квадрата