Рішення - Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою доповнення до квадрату

Оскільки $$a=-16$$, поділіть усі коефіцієнти та константи на обидві сторони рівняння на $$-16$$:

$$-16x^2+157x+124=0$$

$$-\frac{16}{-}16x^2+157\frac{x}{-}16+\frac{124}{-}16=\frac{0}{-}16$$

$$x^2-\frac{157}{16}x-\frac{31}{4}=0$$

Коефіцієнти дорівнюють:
$$a=1$$
$$b=-\frac{157}{16}$$
$$c=-\frac{31}{4}$$

Додайте $$\frac{31}{4}$$ до обох сторін рівняння:

$$x^2-\frac{157}{16}x-\frac{31}{4}=0$$

$$x^2-\frac{157}{16}x-\frac{31}{4}+\frac{31}{4}=0+\frac{31}{4}$$

$$x^2-\frac{157}{16}x=\frac{31}{4}$$

Щоб перетворити ліву сторону рівняння в ідеальний квадратний тричлен, додайте до рівняння нову константу, яка дорівнює $${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$ :

$$b=-\frac{157}{16}$$

Додайте $$\frac{24649}{1024}$$ до обох сторін рівняння:

Тепер у нас є ідеальний квадратний тричлен, ми можемо записати його у формі ідеального квадрату, додавши до нього половину коефіцієнту $$b$$, $$\frac{b}{2}$$ :
$$b=-\frac{157}{16}$$

$$x^2-\frac{157}{16}x+\frac{24649}{1024}=\frac{32585}{1024}$$

$${\left(x-\frac{157}{32}\right)}^2=\frac{32585}{1024}$$

Знайдіть квадратний корінь з обох сторін рівняння: ВАЖЛИВО: При знаходженні квадратного кореня з константи, ми отримуємо два розв'язки: позитивний і негативний

$${\left(x-\frac{157}{32}\right)}^2=\frac{32585}{1024}$$

$$\sqrt{{\left(x-\frac{157}{32}\right)}^2}=\sqrt{\frac{32585}{1024}}$$

$$x-\frac{157}{32}=\pm \sqrt{\frac{32585}{1024}}$$

$$x-\frac{157}{32}+\frac{157}{32}=\frac{157}{32}\pm \sqrt{\frac{32585}{1024}}$$

$$x=\frac{157}{32}\pm \sqrt{\frac{32585}{1024}}$$

$$x=\frac{157}{32}\pm \frac{\sqrt{32585}}{\sqrt{1024}}$$

$$x=\frac{157}{32}\pm \frac{\sqrt{32585}}{32}$$

$$x_1=\frac{157}{32}+\frac{\sqrt{32585}}{32}$$
$$x_2=\frac{157}{32}-\frac{\sqrt{32585}}{32}$$