Рішення - Властивості еліпсів

$$h$$ представляє зсув по осі x від початку координат.
$$k$$ представляє зсув по осі y від початку.
Щоб знайти значення $$h$$ та $$k$$, використовуйте стандартну форму горизонтальної еліпси:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{29}{9}}+\frac{y^2}{\frac{29}{16}}=1$$
$$h=0$$
$$k=0$$
Центр: $$\left(0,0\right)$$

$$a$$ представляє довший радіус еліпси, який дорівнює половині основної осі. Це називається піввелика ось.
Щоб знайти значення $$a$$, використовуйте стандартну форму горизонтальної еліпси:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{29}{9}}+\frac{y^2}{\frac{29}{16}}=1$$
$$a^2=\frac{29}{9}$$
Візьміть квадратний корінь з обох сторін рівняння:
$$a=1,795$$

Оскільки $$a$$ представляє відстань, воно має тільки позитивне значення.

У горизонтальній еліпсі основна вісь проходить паралельно до осі x і проходить через вершини еліпси. Знайдіть вершини, додавши та віднімши $$a$$ із координати x $$\left(h\right)$$ центра.

Щоб знайти вершину_1, додайте $$a$$ до x-координати $$\left(h\right)$$ центра:
Вершина_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=1.795$$
Вершина_1: $$\left(0+1.795,0\right)$$
Вершина_1: $$\left(1.795,0\right)$$

Щоб знайти вершину_2, відніміть $$a$$ від x-координати ($$h$$) центра:
Вершина_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=1.795$$
Вершина_2: $$\left(0-1.795,0\right)$$
Вершина_2: $$\left(-1.795,0\right)$$

$$b$$ представляє менший радіус еліпса, який дорівнює половині малої осі. Цей він називається піввіссю.
Щоб знайти значення $$b$$, скористайтеся стандартною формою горизонтального еліпса:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{29}{9}}+\frac{y^2}{\frac{29}{16}}=1$$
$$b^2=\frac{29}{16}$$
Візьміть квадратний корінь з обох сторін рівняння:
$$b=1,346$$
Оскільки b представляє відстань, він має лише позитивне значення.

У горизонтальному еліпсі, мала вісь паралельна до осі y і проходить через верхівки еліпса.
Знайдіть ко-вершини, додавши і віднімаючи $$b$$ від координати y $$\left(k\right)$$ центрального пункту.

Щоб знайти ко-вершину_1, додайте $$b$$ до координати y $$\left(k\right)$$ центрального пункту:
Ко-вершина_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=1.346$$
Ко-вершина_1: $$\left(0,0+1.346\right)$$
Ко-вершина_1: $$\left(0,1.346\right)$$

Щоб знайти ко-вершину_2, відніміть $$b$$ від координати y $$\left(k\right)$$ центрального пункту:
Ко-вершина_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=1.346$$
Ко-вершина_2: $$\left(0,0-1.346\right)$$
Ко-вершина_2: $$\left(0,-1.346\right)$$

Фокусна відстань - це відстань від центру еліпса до кожної фокальної точки і зазвичай позначається $$f$$.

Щоб знайти $$f$$, використовуйте формулу:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=\frac{29}{9}$$
$$b^2=\frac{29}{16}$$
Вставте $$a^2$$ та $$b^2$$ в формулу та спростіть:

$$f=\sqrt{\frac{29}{9}-\frac{29}{16}}$$

$$f=\sqrt{\frac{203}{144}}$$

$$f=1,187$$

Оскільки $$f$$ представляє відстань, він має лише позитивне значення.

В горизонтальній еліпсі, головна вісь проходить паралельно до x-осі та через фокуси.
Знайдіть фокуси, додавши та віднімаючи $$f$$ від x-координати $$\left(h\right)$$ центру.

Щоб знайти focus_1, додайте $$f$$ до x-координати $$\left(h\right)$$ центру:
Focus_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=1.187$$
Focus_1: $$\left(0+1.187,0\right)$$
Focus_1: $$\left(1.187,0\right)$$

Щоб знайти focus_2, відніміть $$f$$ від x-координати $$\left(h\right)$$ центру:
Focus_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=1.187$$
Focus_2: $$\left(0-1.187,0\right)$$
Focus_2: $$\left(-1.187,0\right)$$

Використовуйте формулу для обчислення площі еліпса для знаходження площі еліпса:
$$\pi ·a·b$$
$$a=1,795$$
$$b=1,346$$
уважайте $$a$$ та $$b$$ в формулу та спростіть:

$$\pi ·1,795·1,346$$

$$\pi ·2,416$$

Площа дорівнює $$2,416\pi$$

Щоб знайти x-перетин(и), підставте $$0$$ у якість $$y$$ у стандартне рівняння еліпса і розв'яжіть отримане квадратне рівняння щодо $$x$$.
Натисніть тут, щоб отримати поетапне пояснення квадратного рівняння.

$$\frac{x^2}{\frac{29}{9}}+\frac{y^2}{\frac{29}{16}}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{29}{9}}+\frac{0^2}{\frac{29}{16}}=1$$

$$x_1=1,795$$

$$x_2=-1,795$$

Щоб знайти y-перетин(и), підставте $$0$$ у якість $$x$$ у стандартне рівняння еліпса і розв'яжіть отримане квадратне рівняння щодо $$y$$.
Натисніть тут, щоб отримати поетапне пояснення квадратного рівняння.

$$\frac{x^2}{\frac{29}{9}}+\frac{y^2}{\frac{29}{16}}=1$$

$$\frac{0^2}{\frac{29}{9}}+\frac{y^2}{\frac{29}{16}}=1$$

$$y_1=1,346$$

$$y_2=-1,346$$

Щоб знайти ексцентриситет, використовуйте формулу:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=\frac{29}{9}$$
$$b^2=\frac{29}{16}$$
$$a=1,795$$
Підставте $$a^2$$ , $$b^2$$ та $$a$$ в формулу:

$$\frac{\sqrt{\frac{29}{9}-\frac{29}{16}}}{1,795}$$

$$\frac{\sqrt{\frac{203}{144}}}{1,795}$$

$$\frac{1,187}{1,795}$$

$$0,661$$

Ексцентриситет дорівнює $$0,661$$