Рішення - Властивості еліпсів

$$h$$ представляє зсув по осі x від початку координат.
$$k$$ представляє зсув по осі y від початку.
Щоб знайти значення $$h$$ та $$k$$, використовуйте стандартну форму горизонтальної еліпси:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{2}}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1$$
$$h=0$$
$$k=0$$
Центр: $$\left(0,0\right)$$

$$a$$ представляє довший радіус еліпси, який дорівнює половині основної осі. Це називається піввелика ось.
Щоб знайти значення $$a$$, використовуйте стандартну форму горизонтальної еліпси:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{2}}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1$$
$$a^2=\frac{1}{2}$$
Візьміть квадратний корінь з обох сторін рівняння:
$$a=0,707$$

Оскільки $$a$$ представляє відстань, воно має тільки позитивне значення.

У горизонтальній еліпсі основна вісь проходить паралельно до осі x і проходить через вершини еліпси. Знайдіть вершини, додавши та віднімши $$a$$ із координати x $$\left(h\right)$$ центра.

Щоб знайти вершину_1, додайте $$a$$ до x-координати $$\left(h\right)$$ центра:
Вершина_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=0.707$$
Вершина_1: $$\left(0+0.707,0\right)$$
Вершина_1: $$\left(0.707,0\right)$$

Щоб знайти вершину_2, відніміть $$a$$ від x-координати ($$h$$) центра:
Вершина_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=0.707$$
Вершина_2: $$\left(0-0.707,0\right)$$
Вершина_2: $$\left(-0.707,0\right)$$

$$b$$ представляє менший радіус еліпса, який дорівнює половині малої осі. Цей він називається піввіссю.
Щоб знайти значення $$b$$, скористайтеся стандартною формою горизонтального еліпса:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{2}}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1$$
$$b^2=\frac{1}{4}$$
Візьміть квадратний корінь з обох сторін рівняння:
$$b=0,5$$
Оскільки b представляє відстань, він має лише позитивне значення.

У горизонтальному еліпсі, мала вісь паралельна до осі y і проходить через верхівки еліпса.
Знайдіть ко-вершини, додавши і віднімаючи $$b$$ від координати y $$\left(k\right)$$ центрального пункту.

Щоб знайти ко-вершину_1, додайте $$b$$ до координати y $$\left(k\right)$$ центрального пункту:
Ко-вершина_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=0.5$$
Ко-вершина_1: $$\left(0,0+0.5\right)$$
Ко-вершина_1: $$\left(0,0.5\right)$$

Щоб знайти ко-вершину_2, відніміть $$b$$ від координати y $$\left(k\right)$$ центрального пункту:
Ко-вершина_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=0.5$$
Ко-вершина_2: $$\left(0,0-0.5\right)$$
Ко-вершина_2: $$\left(0,-0.5\right)$$

Фокусна відстань - це відстань від центру еліпса до кожної фокальної точки і зазвичай позначається $$f$$.

Щоб знайти $$f$$, використовуйте формулу:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=\frac{1}{2}$$
$$b^2=\frac{1}{4}$$
Вставте $$a^2$$ та $$b^2$$ в формулу та спростіть:

$$f=\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}$$

$$f=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

$$f=0,5$$

Оскільки $$f$$ представляє відстань, він має лише позитивне значення.

В горизонтальній еліпсі, головна вісь проходить паралельно до x-осі та через фокуси.
Знайдіть фокуси, додавши та віднімаючи $$f$$ від x-координати $$\left(h\right)$$ центру.

Щоб знайти focus_1, додайте $$f$$ до x-координати $$\left(h\right)$$ центру:
Focus_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=0.5$$
Focus_1: $$\left(0+0.5,0\right)$$
Focus_1: $$\left(0.5,0\right)$$

Щоб знайти focus_2, відніміть $$f$$ від x-координати $$\left(h\right)$$ центру:
Focus_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=0.5$$
Focus_2: $$\left(0-0.5,0\right)$$
Focus_2: $$\left(-0.5,0\right)$$

Використовуйте формулу для обчислення площі еліпса для знаходження площі еліпса:
$$\pi ·a·b$$
$$a=0,707$$
$$b=0,5$$
уважайте $$a$$ та $$b$$ в формулу та спростіть:

$$\pi ·0,707·0,5$$

$$\pi ·0,354$$

Площа дорівнює $$0,354\pi$$

Щоб знайти x-перетин(и), підставте $$0$$ у якість $$y$$ у стандартне рівняння еліпса і розв'яжіть отримане квадратне рівняння щодо $$x$$.
Натисніть тут, щоб отримати поетапне пояснення квадратного рівняння.

$$\frac{x^2}{\frac{1}{2}}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{2}}+\frac{0^2}{\frac{1}{4}}=1$$

$$x_1=0,707$$

$$x_2=-0,707$$

Щоб знайти y-перетин(и), підставте $$0$$ у якість $$x$$ у стандартне рівняння еліпса і розв'яжіть отримане квадратне рівняння щодо $$y$$.
Натисніть тут, щоб отримати поетапне пояснення квадратного рівняння.

$$\frac{x^2}{\frac{1}{2}}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1$$

$$\frac{0^2}{\frac{1}{2}}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1$$

$$y_1=\frac{1}{2}$$

$$y_2=-\frac{1}{2}$$

Щоб знайти ексцентриситет, використовуйте формулу:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=\frac{1}{2}$$
$$b^2=\frac{1}{4}$$
$$a=0,707$$
Підставте $$a^2$$ , $$b^2$$ та $$a$$ в формулу:

$$\frac{\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}}{0,707}$$

$$\frac{\sqrt{\frac{1}{4}}}{0,707}$$

$$\frac{\frac{1}{2}}{0,707}$$

$$\frac{500}{707}$$

Ексцентриситет дорівнює $$0,707$$