Рішення - Властивості еліпсів

$$h$$ представляє зміщення по осі x від початку.
$$k$$ представляє зміщення по осі y від початку.
Щоб знайти значення $$h$$ та $$k$$, використовуйте стандартну форму еліпса по вертикалі:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{3}}+\frac{y^2}{\frac{5}{3}}=1$$
$$h=0$$
$$k=0$$
Центр: $$\left(0,0\right)$$

$$a$$ представляє довший радіус еліпса, який дорівнює половині основної осі.
Це називається півосі.
Для того, щоб знайти значення $$a$$, використовуйте стандартну форму еліпса по вертикалі:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{3}}+\frac{y^2}{\frac{5}{3}}=1$$
$$a^2=\frac{5}{3}$$
Візьміть квадратний корінь з обох сторін рівняння:
$$a=1,291$$

Оскільки $$a$$ представляє відстань, воно має тільки позитивне значення.

У вертикальному еліпсу основна ось паралельна осі y і проходить через вершини еліпса. Знайдіть вершини, додавши та віднімаючи $$a$$ від координати y ($$k$$) центра.

V2-Propertiesofellipses-TextUnit162

V2-Propertiesofellipses-TextUnit163

V2-Propertiesofellipses-TextUnit164

V2-Propertiesofellipses-TextUnit166

V2-Propertiesofellipses-TextUnit167

V2-Propertiesofellipses-TextUnit168

V2-Propertiesofellipses-TextUnit169

$$f=\sqrt{\frac{5}{3}-\frac{1}{3}}$$

$$f=\sqrt{\frac{4}{3}}$$

$$f=1,155$$

Оскільки $$f$$ представляє відстань, воно має тільки позитивне значення.

У вертикальній еліпсі основна вісь проходить паралельно до осі y і через фокуси.
Знайдіть фокуси, додавши та віднімши $$f$$ з координати y $$\left(k\right)$$ центра.

Щоб знайти фокус_1, додайте $$f$$ до координати y $$\left(k\right)$$ центра:
Фокус_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=1.155$$
Фокус_1: $$\left(0,0+1.155\right)$$
Фокус_1: $$\left(0,1.155\right)$$

Щоб знайти фокус_2, відніміть $$f$$ від координати y $$\left(k\right)$$ центра:
Фокус_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=1.155$$
Фокус_2: $$\left(0,0-1.155\right)$$
Фокус_2: $$\left(0,-1.155\right)$$

Використовуйте формулу для обчислення площі еліпса для знаходження площі еліпса:
$$\pi ·a·b$$
$$a=1,291$$
$$b=0,577$$
уважайте $$a$$ та $$b$$ в формулу та спростіть:

$$\pi ·1,291·0,577$$

$$\pi ·0,745$$

Площа дорівнює $$0,745\pi$$

Щоб знайти x-перетин(и), підставте $$0$$ у якість $$y$$ у стандартне рівняння еліпса і розв'яжіть отримане квадратне рівняння щодо $$x$$.
Натисніть тут, щоб отримати поетапне пояснення квадратного рівняння.

$$\frac{x^2}{\frac{1}{3}}+\frac{y^2}{\frac{5}{3}}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{3}}+\frac{0^2}{\frac{5}{3}}=1$$

$$x_1=0,577$$

$$x_2=-0,577$$

Щоб знайти y-перетин(и), підставте $$0$$ у якість $$x$$ у стандартне рівняння еліпса і розв'яжіть отримане квадратне рівняння щодо $$y$$.
Натисніть тут, щоб отримати поетапне пояснення квадратного рівняння.

$$\frac{x^2}{\frac{1}{3}}+\frac{y^2}{\frac{5}{3}}=1$$

$$\frac{0^2}{\frac{1}{3}}+\frac{y^2}{\frac{5}{3}}=1$$

$$y_1=1,291$$

$$y_2=-1,291$$

Щоб знайти ексцентриситет, використовуйте формулу:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=\frac{5}{3}$$
$$b^2=\frac{1}{3}$$
$$a=1,291$$
Підставте $$a^2$$ , $$b^2$$ та $$a$$ в формулу:

$$\frac{\sqrt{\frac{5}{3}-\frac{1}{3}}}{1,291}$$

$$\frac{\sqrt{\frac{4}{3}}}{1,291}$$

$$\frac{1,155}{1,291}$$

$$0,894$$

Ексцентриситет дорівнює $$0,895$$