Рішення - Властивості еліпсів

$$a$$ представляє довший радіус еліпса, який дорівнює половині основної осі.
Це називається півосі.
Для того, щоб знайти значення $$a$$, використовуйте стандартну форму еліпса по вертикалі:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{59}=1$$
$$a^2=59$$
Візьміть квадратний корінь з обох сторін рівняння:
$$a=7,681$$

Оскільки $$a$$ представляє відстань, воно має тільки позитивне значення.

У вертикальному еліпсу основна ось паралельна осі y і проходить через вершини еліпса. Знайдіть вершини, додавши та віднімаючи $$a$$ від координати y ($$k$$) центра.

V2-Propertiesofellipses-TextUnit162

V2-Propertiesofellipses-TextUnit163

V2-Propertiesofellipses-TextUnit164

V2-Propertiesofellipses-TextUnit166

V2-Propertiesofellipses-TextUnit167

V2-Propertiesofellipses-TextUnit168

V2-Propertiesofellipses-TextUnit169

$$f=\sqrt{59-4}$$

$$f=\sqrt{55}$$

$$f=7,416$$

Оскільки $$f$$ представляє відстань, воно має тільки позитивне значення.

У вертикальній еліпсі основна вісь проходить паралельно до осі y і через фокуси.
Знайдіть фокуси, додавши та віднімши $$f$$ з координати y $$\left(k\right)$$ центра.

Щоб знайти фокус_1, додайте $$f$$ до координати y $$\left(k\right)$$ центра:
Фокус_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(1,-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$f=7.416$$
Фокус_1: $$\left(1,-2+7.416\right)$$
Фокус_1: $$\left(1,5.416\right)$$

Щоб знайти фокус_2, відніміть $$f$$ від координати y $$\left(k\right)$$ центра:
Фокус_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(1,-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$f=7.416$$
Фокус_2: $$\left(1,-2-7.416\right)$$
Фокус_2: $$\left(1,-9.416\right)$$

Використовуйте формулу для обчислення площі еліпса для знаходження площі еліпса:
$$\pi ·a·b$$
$$a=7,681$$
$$b=2$$
уважайте $$a$$ та $$b$$ в формулу та спростіть:

$$\pi ·7,681·2$$

$$\pi ·15,362$$

Площа дорівнює $$15,362\pi$$

Щоб знайти x-перетин(и), підставте $$0$$ у якість $$y$$ у стандартне рівняння еліпса і розв'яжіть отримане квадратне рівняння щодо $$x$$.
Натисніть тут, щоб отримати поетапне пояснення квадратного рівняння.

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{59}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(0+2\right)}^2}{59}=1$$

$$x_1=2,931$$

$$x_2=-0,931$$

Щоб знайти y-перетин(и), підставте $$0$$ у якість $$x$$ у стандартне рівняння еліпса і розв'яжіть отримане квадратне рівняння щодо $$y$$.
Натисніть тут, щоб отримати поетапне пояснення квадратного рівняння.

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{59}=1$$

$$\frac{{\left(0-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{59}=1$$

$$y_1=4,652$$

$$y_2=-8,652$$

Щоб знайти ексцентриситет, використовуйте формулу:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=59$$
$$b^2=4$$
$$a=7,681$$
Підставте $$a^2$$ , $$b^2$$ та $$a$$ в формулу:

$$\frac{\sqrt{59-4}}{7,681}$$

$$\frac{\sqrt{55}}{7,681}$$

$$\frac{7,416}{7,681}$$

$$0,966$$

Ексцентриситет дорівнює $$0,965$$