Bir denklem veya problem girin

Kamera girişi tanınmadı!

Çözüm - Kareyi tamamlama yöntemiyle ikinci derece denklemleri çözme

Tam form:

z_{1} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{273}}{6}

z_1=\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{273}}{6}

z_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{273}}{6}

z_2=\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{273}}{6}

Ondalık form:

z_{1} = 5, 254

z_1=5,254

z_{2} = - 0, 254

z_2=-0,254

Adımları gör

Adım adım açıklama

1. Katsayıları belirleyin

Bir ikinci derece denkleminin standart formunu, $a x^{2} + b x + c = 0$ , katsayıları bulmak için kullanın:

$3 z^{2} - 15 z - 4 = 0$

$a = 3$
$b = - 15$
$c = - 4$

2. a katsayısını 1 yapın

$a = 3$ olduğu için, denklemin her iki tarafındaki tüm katsayıları ve sabitleri $3$ ile bölelim:

$3 z^{2} - 15 z - 4 = 0$

$\frac{3}{3} z^{2} - 15 \frac{z}{3} - \frac{4}{3} = \frac{0}{3}$

İfadenin sadeleştirilmesi

$z^{2} - 5 z - \frac{4}{3} = 0$

Katsayılar şunlardır:
$a = 1$
$b = - 5$
$c = - \frac{4}{3}$

3. Sabit değeri denklemin sağına taşıyın ve birleştirin

Denklemin her iki tarafına da $\frac{4}{3}$ ekleyin:

$z^{2} - 5 z - \frac{4}{3} = 0$

$z^{2} - 5 z - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0 + \frac{4}{3}$

$z^{2} - 5 z = \frac{4}{3}$

4. Kareyi tamamlayın

Denklemin sol tarafını mükemmel kare trinomal yapmak için, denkleme yeni sabiti eşit ${(\frac{b}{2})}^{2}$ ekleyin:

$b = - 5$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- 5}{2})}^{2}$

Üslerin kesir kuralını kullanın ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- 5}{2})}^{2} = \frac{- 5^{2}}{2^{2}}$

$\frac{- 5^{2}}{2^{2}} = \frac{25}{4}$

Denklemin her iki tarafına da $\frac{25}{4}$ ekleyin:

5 ek adımlar

$z^{2} - 5 z = \frac{4}{3}$

$z^{2} - 5 z + \frac{25}{4} = \frac{4}{3} + \frac{25}{4}$

En küçük ortak paydayı bul:

$z^{2} - 5 z + \frac{25}{4} = \frac{(4 \cdot 4)}{(3 \cdot 4)} + \frac{(25 \cdot 3)}{(4 \cdot 3)}$

Paydaları çarp:

$z^{2} - 5 z + \frac{25}{4} = \frac{(4 \cdot 4)}{12} + \frac{(25 \cdot 3)}{12}$

Payları çarp:

$z^{2} - 5 z + \frac{25}{4} = \frac{16}{12} + \frac{75}{12}$

Kesirleri birleştir:

$z^{2} - 5 z + \frac{25}{4} = \frac{(16 + 75)}{12}$

Payları birleştir:

$z^{2} - 5 z + \frac{25}{4} = \frac{91}{12}$

Artık mükemmel kare trinomalımız var, bunu $b$ katsayısının yarısını ekleyerek mükemmel kare formunda yazabiliriz, $\frac{b}{2}$ :
$b = - 5$

$\frac{b}{2} = \frac{- 5}{2}$

$z^{2} - 5 z + \frac{25}{4} = \frac{91}{12}$

${(z - \frac{5}{2})}^{2} = \frac{91}{12}$

5. $x$ için çözüm bulun

Denklemin her iki tarafının da karekökünü alın: ÖNEMLİ: Bir sabitin karekökünü bulurken, iki çözümümüz olur: pozitif ve negatif

${(z - \frac{5}{2})}^{2} = \frac{91}{12}$

$\sqrt{{(z - \frac{5}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{91}{12}}$

Denklemin sol tarafındaki kare ve karekökü iptal edin:

$z - \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{91}{12}}$

Her iki tarafa da $\frac{5}{2}$ ekle

$z - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{91}{12}}$

Sol tarafı basitleştir:

$z = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{91}{12}}$

$z = \frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{91}}{\sqrt{12}}$

$z = \frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{91} \cdot \sqrt{12}}{\sqrt{12} \cdot \sqrt{12}}$

$z = \frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{1092}}{12}$

Asal çarpanları yazın:

$z = \frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13}}{12}$

Asal çarpanları çiftler halinde gruplayın ve üs formunda yazın:

$z = \frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13}}{12}$

$\sqrt{(x^{2})} = x$ kuralını kullanarak daha da sadeleştirin:

$z = \frac{5}{2} \pm \frac{2 \cdot \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 13}}{12}$

Herhangi bir çarpma veya bölme işlemi yapın, soldan sağa doğru:

$z = \frac{5}{2} \pm \frac{2 \cdot \sqrt{21 \cdot 13}}{12}$

$z = \frac{5}{2} \pm \frac{2 \cdot \sqrt{273}}{12}$

Kesiri basitleştir

$z = \frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{273}}{6}$

$z_{1} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{273}}{6}$
$z_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{273}}{6}$

Nasıldı performansımız?

Lütfen bize geri bildirim bırakın.

Bunu neden öğrenmeliyim

En basit haliyle, kuadratik denklemler daireler, elipsler ve parabolalar gibi şekilleri tanımlar. Bu şekiller, futbolcu tarafından tekme atılan bir top ya da bir topun nasıl hareket edeceğini tahmin etmek için kullanılabilir.
Bir nesnenin uzaydaki hareketi söz konusu olduğunda, başlangıç olarak güneş etrafında dönen gezegenlerle dolu uzayı düşünebiliriz. Kuadratik denklem, gezegenlerin yörüngelerinin dairesel değil eliptik olduğunu belirlemek için kullanılmıştır. Bir aracın çarpma anındaki hızını hesaplamanın mümkün olduğunu bile biliyoruz, kuadratik denklem bunu hesaplar. Bu bilgilerle otomotiv endüstrisi gelecekteki çarpışmaları önlemek için frenleri tasarlayabilir. Birçok endüstri, kuadratik denklemi kullanarak ürünlerinin ömrünü ve güvenliğini tahmin eder ve böylece geliştirir.

Terimler ve konular

Kareyi tamamlama yöntemiyle ikinci derece denklemleri çözme