పరిష్కారం - Ellipses yochina dvaaralu

$$a$$ ఉండాపేటను యొక్క పొడవైన వ్యాసాన్ని ప్రతినిధిస్తుంది, ఇది ప్రధాన అక్షం యొక్క సగంతో సమానం. ఇది ఒక అర్ద-మేజర్ అక్షాన్ని అంటారు.
$$a$$ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి, క్షైతీయ ఉండాపేతను ప్రామాణిక రూపంలో ఉపయోగించండి:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{100}=1$$
$$a^2=100$$
సమీకరణం యొక్క రెండు పక్షాలపై చతుర్భుజ మూలాన్ని తీసుకోండి:
$$a=10$$

$$a$$ ఒక దూరాన్ని ప్రతినిధిస్తుంది, దానికి మాత్రమే సకారాత్మక విలువ ఉంటుంది.

క్షైతీయ ఉండాపేటలో, ప్రధాన అక్షం y-అక్షంపాటు పరదడానికి ఉండి ఉండాపేతను యొక్క ఆరాగజాలకు దూశ్చేస్తుంది. ఆరాగజాలను ఆర్కేట కేంద్రంగా ఉన్న y-నిరూపణ ($$k$$) నుండి $$a$$ ను కలుపు మరియు తగ్గించి కనుగొనండి.

కేంద్ర యోజన పర యోజన సూచనను ($$k$$) కనుగొనడానికి వర్టెక్స్_1 కొరకు $$a$$ ను జోడించండి:
వర్టెక్స్_1: $$\left(h,k+a\right)$$
కేంద్ర: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=10$$
వర్టెక్స్_1: $$\left(0,0+10\right)$$
వర్టెక్స్_1: $$\left(0;10\right)$$

వర్టెక్స్_2 కనుగొనడానికి, కేంద్ర యోజన సూచిక ($$k$$) నుండి $$a$$ ను తీసివేయండి:
వర్టెక్స్_2: $$\left(h,k-a\right)$$
కేంద్ర: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=10$$
వర్టెక్స్_2: $$\left(0,0-10\right)$$
వర్టెక్స్_2: $$\left(0;-10\right)$$

$$b$$ అనేది ఎలిప్స్ యొక్క చిన్నరైపును ప్రతిపాదిస్తుంది, ఇది మైనర్ అక్సిస్ యొక్క సగం సమానం. ఇది సెమి-మైనర్ అక్సిస్ అని పిలుస్తారు.
వెర్టికల్ ఎల్లిప్స్ స్టాండర్డ్ ఫార్మ్ ఉపయోగించి $$b$$ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{100}=1$$
$$b^2=25$$
సమీకరణ రెండు వైపులకు చదువు తీసుకోండి:
$$b=5$$
బి ఒక దూరానికి ప్రాతిపాదకం కాబట్టి, దానికి మాత్రమే సకారాత్మక విలువ ఉంటుంది.

వెర్టికల్ ఎలిప్స్ లో, మైనర్ అక్సిస్ x-అక్సిస్ కు సమాంతరంగా ప్రస్తుతం, ఎలిప్స్ యొక్క కో-వర్టిసీస్ ద్వారా పోతుంది.
కేంద్ర యోజన సూచనను ($$h$$) నుండి $$b$$ ను జోడించి మరియు తీసివేత ద్వారా కో-వర్టిసీస్ కనుగొనండి.

కో-వర్టెక్స్_1 కనుగొనడానికి కేంద్ర యోజన సూచిక ($$h$$) కు $$b$$ ను జోడించండి:
Co-vertex_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=5$$
Co-vertex_1: $$\left(0+5,0\right)$$
Co-vertex_1: $$\left(5;0\right)$$

కో-వర్టెక్స్_2 కనుగొనడానికి కేంద్ర యోజన సూచిక ($$h$$) నుండి $$b$$ ను తీసివేయండి:
Co-vertex_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=5$$
Co-vertex_2: $$\left(0-5,0\right)$$
Co-vertex_2: $$\left(-5;0\right)$$

ఫోకల్ లెంతి అనేది ఎలిప్స్ కేంద్రం నుండి ప్రతీ ఫోకల్ పాయింట్ దారి యొక్క దూరానికి మూలంగా ఉంటుంది, దీన్ని సాధారణంగా $$f$$. కానిస్తారు.

$$f$$ కనుగొనడానికి, ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=100$$
$$b^2=25$$
$$a^2$$ మరియు $$b^2$$ ని సూత్రానికి ప్లగ్ ఇన్ చేసి విలువాలను సరలీకరించండి:

$$f=\sqrt{100-25}$$

$$f=\sqrt{75}$$

$$f=8.66$$

$$f$$ ఒక దూరానికి ప్రతిష్టాపన చేస్తుంది, దాన్ని ధనాత్మక విలువ మాత్రమే ఉంటుంది.

ఒక నిలువు ఉండే ఉండే ఉండే ఉండే ఉండే ఎలిప్సి, ముఖ్య అక్షితనము యాక్సిస్ పరిపాలించను ప్రవాహిస్తుంది మరియు దృష్టికోండల ద్వారా ప్రవహించింది.
దృష్టికోండలను కనుగొనడానికి $$f$$ ను సెంటర్ య్-కోఆర్డినేట్ $$\left(k\right)$$ నుండి జోడించి మరియు తీసివేయండి.

Focus_1 ను కనుగొనడానికి, కేంద్రం యాక్సిస్ కోఆర్డినేట్ $$\left(k\right)$$ కి $$f$$ ను జోడించండి:
Focus_1: $$\left(h,k+f\right)$$
కేంద్రం: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=8.66$$
Focus_1: $$\left(0,0+8.66\right)$$
Focus_1: $$\left(0;8.66\right)$$

Focus_2 ను కనుగొనడానికి, కేంద్రం యాక్సిస్ కోఆర్డినేట్ $$\left(k\right)$$ కి $$f$$ ను తీసివేయండి:
Focus_2: $$\left(h,k-f\right)$$
కేంద్రం: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=8.66$$
Focus_2: $$\left(0,0-8.66\right)$$
Focus_2: $$\left(0;-8.66\right)$$

ఎలిప్స్ యొక్క ప్రదేశాన్ని కనుగొనడానికి ఎలిప్స్ ప్రదేశం యొక్క సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:
$$\pi ·a·b$$
$$a=10$$
$$b=5$$
Plug $$a$$ and $$b$$ into the formula and simplify:

$$\pi ·10·5$$

$$\pi ·50$$

ప్రదేశం $$50\pi$$కు సమానం

x-ఇంటర్సెప్ట్లను కనుగొనడానికి, ఎలిప్సుకు ప్రామాణిక సమీకరణంలో $$0$$ను $$y$$కు ప్లగ్ చేసి, ఫలితంగా ఉన్న చదువు సమీకరణంను $$x$$కు పరిష్కరించండి.
చదువు సమీకరణం యొక్క క్రమశాస్నంగా వివరణ ఇక్కడ నొక్కండి.

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{100}=1$$

$$\frac{x^2}{25}+\frac{0^2}{100}=1$$

$$x_1=5$$

$$x_2=-5$$

y-ఇంటర్సెప్ట్లను కనుగొనడానికి, ఎలిప్సుకు ప్రామాణిక సమీకరణంలో $$0$$ను $$x$$కు ప్లగ్ చేసి, ఫలితంగా ఉన్న చదువు సమీకరణంను $$y$$కు పరిష్కరించండి.
చదువు సమీకరణం యొక్క క్రమశాస్నంగా వివరణ ఇక్కడ నొక్కండి.

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{100}=1$$

$$\frac{0^2}{25}+\frac{y^2}{100}=1$$

$$y_1=10$$

$$y_2=-10$$

విలక్షణతను కనుగొనడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=100$$
$$b^2=25$$
$$a=10$$
Plug $$a^2$$ , $$b^2$$ and $$a$$into the formula:

$$\frac{\sqrt{100-25}}{10}$$

$$\frac{\sqrt{75}}{10}$$

$$\frac{8.66}{10}$$

$$0.866$$

భిన్నత్వం సమానం $$0.866$$