పరిష్కారం - Ellipses yochina dvaaralu

$$h$$ ప్రారంభ యోక్క ఎక్స్-ఆఫ్సెట్ను ప్రతిపదిస్తుంది.
$$k$$ ప్రారంభ యోక్క వై-ఆఫ్సెట్ను ప్రతిపదిస్తుంది.
$$h$$ మరియు $$k$$ యొక్క విలువలను కనుగొనడానికి, హొరిజంటల్ ఎలిప్స్ ప్రామాణిక రూపాన్ని ఉపయోగించండి:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{100}{3}}+\frac{y^2}{4}=1$$
$$h=0$$
$$k=0$$
కేంద్రం: $$\left(0,0\right)$$

$$a$$ ఎలిప్స్ యొక్క పొడవైన వ్యాసాన్ని ప్రతిపదిస్తుంది, ఇది ముఖ్య అక్షితన సగం సమానం. ఇది సేమి-మేజర్ అక్షి అని పిలుస్తారు.
$$a$$ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి, హొరిజంటల్ ఎలిప్స్ ప్రామాణిక రూపాన్ని ఉపయోగించండి:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{100}{3}}+\frac{y^2}{4}=1$$
$$a^2=\frac{100}{3}$$
సమీకరణం యొక్క రెండు పక్కలాలను చౌకాకు చేయండి:
$$a=5.774$$

$$a$$ ఒక దూరానికి ప్రతిష్టాపన చేస్తుంది, దాన్ని ధనాత్మక విలువ మాత్రమే ఉంటుంది.

ఒక హొరిజంటల్ ఎలిప్సిలో, ముఖ్య అక్షితనము ఎక్స్-ఆక్సిస్ పరిపాలనలో ప్రవహిస్తుంది మరియు ఎలిప్సిస్ యొక్క శ్రెష్ట బిందువుల ద్వారా అడుగుపెట్టను. కేంద్ర ఎక్స్-కోఆర్డినేట్ $$\left(h\right)$$ నుండి $$a$$ ను జోడించి మరియు తీసివేయండి ద్వారా శ్రెష్ఠ బిందువులు కనుగొనండి.

వేర్టిక్స్_1 కనుగొనడానికి, కేంద్రం యొక్క x-సమనునయం (h) కు $$a$$ ను జోడించు:
వేర్టిక్స్_1: $$\left(h+a,k\right)$$
కేంద్రం: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=5.774$$
వేర్టిక్స్_1: $$\left(0+5.774,0\right)$$
వేర్టిక్స్_1: $$\left(5.774;0\right)$$

వేర్టిక్స్_2 కనుగొనడానికి, కేంద్రం యొక్క x-సమనునయం (h) నుండి $$a$$ ను తప్పించు:
వేర్టిక్స్_2: $$\left(h-a,k\right)$$
కేంద్రం: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=5.774$$
వేర్టిక్స్_2: $$\left(0-5.774,0\right)$$
వేర్టిక్స్_2: $$\left(-5.774;0\right)$$

$$b$$ అనేది ఎలిప్స్ యొక్క చిన్నరాళిని ప్రకటిస్తుంది, మరియు ఇది మైనర్ యాక్స్ యొక్క సగం సమనునయానికి సమనము.
$$b$$ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి, హొరిజంటల్ ఎలిప్స్ యొక్క ప్రామాణిక రూపాన్ని ఉపయోగించండి:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{100}{3}}+\frac{y^2}{4}=1$$
$$b^2=4$$
సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులకు చదువును తీసుకుంటే:
$$b=2$$
ఈ b దూరానికి ప్రతిష్ఠనిస్తుంది, అందువలన ఇది మాత్రమే సకరాత్మక విలువను కలిగి ఉంటుంది.

ఒక హొరిజంటల్ ఎలిప్స్ లో, మైనర్ యాక్స్ y-అక్షంలో సరళలై ఉంటుంది, మరియు ఎలిప్స్ యొక్క సహ-వేర్టిసీల ద్వారా పోతుంది.
కేంద్రం యొక్క y-సమనునయం (k) నుండి $$b$$ ను జోడించి మరియు తప్పించి co-వేర్టిసీలు కనుగొనండి.

Co-vertex_1 కనుగొనడానికి, బరునకూల యొక్క (k) కేంద్రం కు $$b$$ ను జోడించు:
Co-vertex_1: $$\left(h,k+b\right)$$
కేంద్రం: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=2$$
Co-vertex_1: $$\left(0,0+2\right)$$
Co-vertex_1: $$\left(0;2\right)$$

Co-vertex_2 కనుగొనడానికి, కేంద్రం యొక్క y-సమనునయం (k) నుండి $$b$$ ను తప్పించు:
Co-vertex_2: $$\left(h,k-b\right)$$
కేంద్రం: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=2$$
Co-vertex_2: $$\left(0,0-2\right)$$
Co-vertex_2: $$\left(0;-2\right)$$

ఫోకల్ లేంతి అంటే ఎలిప్స్ యొక్క కేంద్రం నుంచి ప్రతీ ఫోకల్ పాయింట్ వరకు ఉన్న దూరం, మరియు ఇది సాధారణంగా $$f$$ ద్వారా ప్రతిపాదిస్తారు.

$$f$$ కనుగొనడానికి, సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=\frac{100}{3}$$
$$b^2=4$$
సూత్రము లో $$a^2$$ మరియు $$b^2$$ ను ప్లగ్ చేసి సరళీకరించండి:

$$f=\sqrt{\frac{100}{3}-4}$$

$$f=\sqrt{\frac{88}{3}}$$

$$f=5.416$$

$$f$$ ఒక దూరానికి ప్రతిస్థానిస్తుంది కాబట్టి, దానికి మాత్రమే సానుకూల విలువ ఉంటుంది.

ఒక క్షైతిజ ఎలిప్స్లో, ముఖ్య ఆక్సిస్ x-ఆక్సిస్ పరలేల్గా మరియు ఫోకస్ల ద్వారా పోతుంది.
కేంద్ర కొత్త x-సంఖ్యా$$\left(h\right)$$ను కలిపి మరియు తీసివేత ఫోకస్లను కనుగొనండి.$$f$$

ఫోకస్_1 కనుగొనడానికి, కేంద్రం యొక్క x-సంఖ్యా$$\left(h\right)$$కి $$f$$ కలిపండి:
Focus_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=5.416$$
Focus_1: $$\left(0+5.416,0\right)$$
Focus_1: $$\left(5.416;0\right)$$

ఫోకస్_2 కనుగొనడానికి, కేంద్రం యొక్క x-సంఖ్యా$$\left(h\right)$$నుండి $$f$$ తీయండి:
Focus_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=5.416$$
Focus_2: $$\left(0-5.416,0\right)$$
Focus_2: $$\left(-5.416;0\right)$$

ఎలిప్స్ యొక్క ప్రదేశాన్ని కనుగొనడానికి ఎలిప్స్ ప్రదేశం యొక్క సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:
$$\pi ·a·b$$
$$a=5.774$$
$$b=2$$
Plug $$a$$ and $$b$$ into the formula and simplify:

$$\pi ·5.774·2$$

$$\pi ·11.548$$

ప్రదేశం $$11.548\pi$$కు సమానం

x-ఇంటర్సెప్ట్లను కనుగొనడానికి, ఎలిప్సుకు ప్రామాణిక సమీకరణంలో $$0$$ను $$y$$కు ప్లగ్ చేసి, ఫలితంగా ఉన్న చదువు సమీకరణంను $$x$$కు పరిష్కరించండి.
చదువు సమీకరణం యొక్క క్రమశాస్నంగా వివరణ ఇక్కడ నొక్కండి.

$$\frac{x^2}{\frac{100}{3}}+\frac{y^2}{4}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{100}{3}}+\frac{0^2}{4}=1$$

$$x_1=5.774$$

$$x_2=-5.774$$

y-ఇంటర్సెప్ట్లను కనుగొనడానికి, ఎలిప్సుకు ప్రామాణిక సమీకరణంలో $$0$$ను $$x$$కు ప్లగ్ చేసి, ఫలితంగా ఉన్న చదువు సమీకరణంను $$y$$కు పరిష్కరించండి.
చదువు సమీకరణం యొక్క క్రమశాస్నంగా వివరణ ఇక్కడ నొక్కండి.

$$\frac{x^2}{\frac{100}{3}}+\frac{y^2}{4}=1$$

$$\frac{0^2}{\frac{100}{3}}+\frac{y^2}{4}=1$$

$$y_1=2$$

$$y_2=-2$$

విలక్షణతను కనుగొనడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=\frac{100}{3}$$
$$b^2=4$$
$$a=5.774$$
Plug $$a^2$$ , $$b^2$$ and $$a$$into the formula:

$$\frac{\sqrt{\frac{100}{3}-4}}{5.774}$$

$$\frac{\sqrt{\frac{88}{3}}}{5.774}$$

$$\frac{5.416}{5.774}$$

$$0.938$$

భిన్నత్వం సమానం $$0.938$$