Tiger Algebra Calculator గణిత లేక్కించే యంత్రం

కల్పన అనేది వినియోగానికేమీసంబంధమేకాదాకలీకని ఒక సేట్ నుండి వస్తువులను ఏర్పాటు చేసుకునే పద్ధతి. ఉదాహరణకు, తొమ్మిది ఎంపికల జాబితా నుండి మూడు అనుమానిక సంఖ్యలను ఎంచుకోవడమే. మీరు $$1$$ తరువాత $$7$$ మరియు తరువాత $$4$$ లేదా మీరు $$7$$ తరువాత $$1$$ మరియు తరువాత $$4$$ ఎంచుకునేది ప్రామాణికంగా ప్రభావం పెట్టడు.
మారణం అనేది ఏర్పాటును ఏర్పాటు చేసే క్రమం అటువంటి ఉంది వస్తువులను ఒక సేట్ నుండి ఏర్పాటు చేసుకునే ఆదర్శ పద్ధతి. దీనికి ఉదాహరణగా లాక్ కోడ్ ఉంటుంది. కోడ్ $$1,7,4$$ ఉంటే, దాన్ని $$1,4,7$$ లేదా $$4,7,1$$ లేదా ఏ ఇతర క్రమంలో ఎంటర్ చేయలేరు.
ఒక సేట్ లో ఒక వస్తువు కంటే ఎక్కువ ఉన్న పరిస్థితులో, ఎలిమైననే మారణాలు ఎంపై ఎక్కువ ఉంటాయి.

కల్పనలు మరియు మారుదేశాలు పునరావృతి తో మరియు పునరావృతి లేకుండా జరుగుతాయి, అంటే వాటిలో ఒక లేదా ఎక్కువ వస్తువులు అనేక సార్లు ఉంటాయి లేదా ఉండవు. ఇది ప్రతీ వేదికకు ఎంతో తేడా చేస్తోందని అనిపిస్తూ ఉండకూడదు, కానీ ఎందుకంటే సేట్ లో వస్తువులను పునరావృతం చేయడం ఖచ్చితంగా మారుతున్నాం.

గణలు
సాధారణంగా $$n$$ సేట్ లో మొత్తం వస్తువుల సంఖ్యను ప్రతిపాదిస్తుంది.
$$k$$ సాధారణంగా ఎన్నుకున్న ఉపసేట్ లో వస్తువుల సంఖ్యను ప్రతిపాదిస్తుంది.
$$C$$ సాధారణంగా కల్పనలను ప్రతిపాదిస్తుంది.
$$P$$ సాధారణంగా మారుదేశాలను ప్రతిపాదిస్తుంది.

$$P\left(n,k\right)$$ పెద్ద సేట్ ($$n$$) నుండి ఒక ఉపసేట్ ($$k$$) యొక్క వేరు-వేరు మారుదేశాల సంఖ్యను ప్రతిపాదిస్తుంది మరియు ఇది కూడా దీని లాగా రాసి ఉండవచ్చు:
మిస్సింగ్ ఇమేజి
$$C\left(n,k\right)$$ పెద్ద సేట్ ($$n$$) నుండి ఒక ఉపసేట్ ($$k$$) యొక్క వేరు-వేరు కల్పనల సంఖ్యను ప్రతిపాదిస్తుంది మరియు ఇది కూడా దీని లాగా రాసి ఉండవచ్చు:
మిస్సింగ్ ఇమేజి
ఈ గణనావిధిని "n choose k" గా కూడా కొంత సార్లు పిలుస్తారు.

సూత్రాలు
మారుదేశాలు మరియు కల్పనలు పరిష్కరించేప్పుడు మేము 'ఫాక్టోరియల్' ఫంక్షన్ ను ఉపయోగిస్తాము.

పునరావృతితో మారుదేశాలు
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
ఉ: పునరావృతి కలిగినప్పుడు మొత్తం $$9$$ వస్తువులలో నుండి $$3$$ వస్తువుల యొక్క ఉపసేట్ను వాటి వేర్వేరు మారుదేశాల ఎన్ని ఉన్నాయి?
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$

పునరావృతి లేకుండా అయిన మారుదేశాలు
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
ఉ: పునరావృతి లేకుండా మొత్తం $$9$$ వస్తువులలో నుండి $$3$$ వస్తువుల యొక్క ఉపసేట్ను వాటి వేర్వేరు మారుదేశాల ఎన్ని ఉన్నాయి?
$$P\left(9,3\right)=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

పునరావృతితో కల్పనలు
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
ఉ: పునరావృతి కలిగినప్పుడు మొత్తం $$9$$ వస్తువులలో నుండి $$3$$ వస్తువుల యొక్క ఉపసేట్ను వాటి వేర్వేరు కల్పనల ఎన్ని ఉన్నాయి?
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

పునరావృతి లేకుండా ఉన్న కల్పనలు ఈ డ్రిల్లను లింక్ చేయండి
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
ఉ: పునరావృతి లేకుండా మొత్తం $$9$$ వస్తువులలో నుండి $$3$$ వస్తువుల యొక్క ఉపసేట్ను వాటి వేర్వేరు కల్పనల ఎన్ని ఉన్నాయి?
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$