Kalkulatori ya Tiger Algebra

Mchanganyiko ni njia ya kupanga vitu kutoka seti wakati mpangilio wa mpangilio haujalishi. Mfano ungekuwa kuchagua nambari tatu bila mpangilio kutoka kwenye orodha ya tisa. Haitakuwa na maana kama unachagua $$1$$ halafu $$7$$ halafu $$4$$ au kama unachagua $$7$$ halafu $$1$$ halafu $$4$$.
Mpangilio ni njia ya kupanga vitu kutoka kwenye seti ambapo utaratibu wa mpangilio unajalisha. Mfano wa hii itakuwa code ya kufungia. Ikiwa code ni $$1,7,4$$ basi haiwezi kuwekwa kama $$1,4,7$$ au $$4,7,1$$ au utaratibu wowote ule.
Mradi tu kuna zaidi ya kitu kimoja katika seti, kutakuwa na mipangilio zaidi ya mchanganyiko.

Mchanganyiko na mipangilio yanaweza kutokea na au bila kurudia, maana yake ni kwamba yana moja au zaidi ya vitu mara nyingi au haviwezi. Japokuwa haya yanaonekana kama yasingepaswa kutofautiana sana, kurudia vitu katika seti ya vitu kunabadilisha njia tunayopaswa kuifikia.

Notation
$$n$$ kwa kawaida inawakilisha idadi kamili ya vitu katika seti.
$$k$$ kwa kawaida inawakilisha idadi ya vitu katika subseti iliyochaguliwa.
$$C$$ kwa kawaida inawakilisha mchanganyiko.
$$P$$ kwa kawaida inawakilisha mipangilio.

$$P\left(n,k\right)$$ inawakilisha idadi ya mipangilio tofauti ya subset ($$k$$) kutoka kwenye seti kubwa ($$n$$) na pia inaweza kuandikwa kama:
MISSING IMAGE
$$C\left(n,k\right)$$ inawakilisha idadi ya mchanganyiko tofauti ya subset ($$k$$) kutoka kwenye seti kubwa ($$n$$) na pia inaweza kuandikwa kama:
MISSING IMAGE
Notation hii pia inajulikana mara nyingine kama "n chagua k".

Formulas
Tunatumia kazi ya factorial wakati tunatatua mchanganyiko na mipangilio.

Mipangilio na kurudia
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
E.G: Ni mipangilio mingapi tofauti ya subseti ya $$3$$ kutoka jumla ya vitu $$9$$ zipo wakati kurudia kunaweza kutokea?
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$

Mipangilio bila kurudia
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
E.G: Ni mipangilio mingapi tofauti ya subseti ya $$3$$ kutoka jumla ya vitu $$9$$ zipo wakati kurudia haiwezi kutokea?
$$P\left(9,3\right)=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

Mchanganyiko na kurudia
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
E.G: Ni mchanganyiko mingapi tofauti ya subseti ya $$3$$ kutoka jumla ya vitu $$9$$ zipo wakati kurudia kunaweza kutokea?
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

Mchanganyiko bila kurudia link to this drill
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
E.G: Ni mchanganyiko mingapi tofauti ya subseti ya $$3$$ kutoka jumla ya vitu $$9$$ zipo wakati kurudia haiwezi kutokea?
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$