Rešenje - Svojstva elipsa

$$a$$ predstavlja duži poluprečnik elipse, koji je jednak polovini glavne ose. Ovo se naziva poluprečnik glavne ose.
Da biste našli vrednost $$a$$, upotrebite standardni oblik horizontalne elipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-4\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{4}=1$$
$$a^2=16$$
Koristite korenovanje na obe strane jednačine:
$$a=4$$

Pošto $$a$$ predstavlja rastojanje, ono ima samo pozitivnu vrednost.

Na horizontalnoj elipsi, glavna osa je paralelna sa x-osem i prolazi kroz vrhove elipse. Pronađite vrhove dodavanjem i oduzimanjem $$a$$ od x-koordinate $$\left(h\right)$$ centra.

Da biste našli vertex_1, dodajte $$a$$ na x-koordinatu $$\left(h\right)$$ centra:
Vertex_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(4,-4\right)$$
$$h=4$$
$$k=-4$$
$$a=4$$
Vertex_1: $$\left(4+4,-4\right)$$
Vertex_1: $$\left(8;-4\right)$$

Da biste pronašli vertex_2, oduzmite $$a$$ od x-koordinate ($$h$$) centra:
Vertex_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(4,-4\right)$$
$$h=4$$
$$k=-4$$
$$a=4$$
Vertex_2: $$\left(4-4,-4\right)$$
Vertex_2: $$\left(0;-4\right)$$

$$b$$ predstavlja kraći poluprečnik elipse, koji je jednak polovini manje ose. Ovo se naziva poluprečnik manje ose.
Da biste našli vrednost $$b$$, upotrebite standardni oblik horizontalne elipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-4\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{4}=1$$
$$b^2=4$$
Koristite korenovanje na obe strane jednačine:
$$b=2$$
Pošto b predstavlja distancu, ona može biti samo pozitivna.

U horizontalnoj elipsi, manja osa se proteže paralelno sa y-osom i prolazi kroz ko-vertikale elipse.
Ko-vertikale pronađite tako što ćete dodati i oduzeti $$b$$ od y-koordinate $$\left(k\right)$$ centra.

Da biste pronašli ko-vertikalu_1, dodajte $$b$$ na y koordinatu $$\left(k\right)$$ centra:
Ko-vertikala_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(4;-4\right)$$
$$h=4$$
$$k=-4$$
$$b=2$$
Ko-vertikala_1: $$\left(4,-4+2\right)$$
Ko-vertikala_1: $$\left(4;-2\right)$$

Da biste pronašli ko-vertikalu_2, oduzmite $$b$$ od y-koordinate $$\left(k\right)$$ centra:
Ko-vertikala_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(4;-4\right)$$
$$h=4$$
$$k=-4$$
$$b=2$$
Ko-vertikala_2: $$\left(4,-4-2\right)$$
Ko-vertikala_2: $$\left(4;-6\right)$$

Fokalna dužina je udaljenost od centra elipse do svake fokalne tačke i obično je predstavljena sa $$f$$.

Da biste pronašli $$f$$, koristite formulu:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=16$$
$$b^2=4$$
Ubacite $$a^2$$ i $$b^2$$ u formulu i pojednostavite:

$$f=\sqrt{16-4}$$

$$f=\sqrt{12}$$

$$f=3,464$$

Pošto $$f$$ predstavlja rastojanje, ono ima samo pozitivnu vrednost.

U horizontalnoj elipsi, glavna osa se proteže paralelno sa x-osom i prolazi kroz fokuse.
Pronađite fokuse tako što ćete dodati i oduzeti $$f$$ od x-koordinate $$\left(h\right)$$ centra.

Da biste našli fokus_1, dodajte $$f$$ na x-koordinatu $$\left(h\right)$$ centra:
Fokus_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(4;-4\right)$$
$$h=4$$
$$k=-4$$
$$f=3,464$$
Fokus_1: $$\left(4+3,464,-4\right)$$
Fokus_1: $$\left(7,464;-4\right)$$

Da biste našli fokus_2, oduzmite $$f$$ od x-koordinate $$\left(h\right)$$ centra:
Fokus_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(4;-4\right)$$
$$h=4$$
$$k=-4$$
$$f=3,464$$
Fokus_2: $$\left(4-3,464,-4\right)$$
Fokus_2: $$\left(0,536;-4\right)$$

Koristi formulaciju za površinu elipse kako bi našao površinu elipse:
$$\pi ·a·b$$
$$a=4$$
$$b=2$$
Ubaci $$a$$ i $$b$$ u formulaciju i pojednostavi:

$$\pi ·4·2$$

$$\pi ·8$$

Površina iznosi $$8\pi$$

Da bi pronašao x-presek(e), ubaci $$0$$ za $$y$$ u standardnoj jednačini elipse i reši rezultujuću kvadratnu jednačinu za $$x$$.
Klikni ovde za korak-po-korak objašnjenje kvadratne jednačine.

$$\frac{{\left(x-4\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{4}=1$$

$$\frac{{\left(x-4\right)}^2}{16}+\frac{{\left(0+4\right)}^2}{4}=1$$

$$\sqrt{\left(-3\right)}$$

Da bi pronašao y-presek(e), ubaci $$0$$ za $$x$$ u standardnoj jednačini elipse i reši rezultujuću kvadratnu jednačinu za $$y$$.
Klikni ovde za korak-po-korak objašnjenje kvadratne jednačine.

$$\frac{{\left(x-4\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{4}=1$$

$$\frac{{\left(0-4\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{4}=1$$

$$y_1=-4$$

Da bi pronašao ekscentricitet koristi formulaciju:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=16$$
$$b^2=4$$
$$a=4$$
Ubaci $$a^2$$ , $$b^2$$ i $$a$$ u formulaciju:

$$\frac{\sqrt{16-4}}{4}$$

$$\frac{\sqrt{12}}{4}$$

$$\frac{3,464}{4}$$

$$0,866$$

Ekscentricitet iznosi $$0,866$$