Rešenje - Svojstva elipsa

$$a$$ predstavlja duži poluprečnik elipse, koji je jednak polovini glavne ose.
Ovo se naziva polu-glavna osa.
Da biste pronašli vrednost $$a$$, koriste se standardna forma vertikalne elipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$
$$a^2=64$$
Izvršite kvadratni koren obiju strana jednačine:
$$a=8$$

Pošto $$a$$ predstavlja rastojanje, ono ima samo pozitivnu vrednost.

Na vertikalnoj elipsi, glavna osa je paralelna sa y-osem i prolazi kroz vrhove elipse. Pronađite vrhove dodavanjem i oduzimanjem $$a$$ od y-koordinate ($$k$$) centra.

Da biste pronašli vertex_1, dodajte $$a$$ na y-koordinatu ($$k$$) centra:
Vertex_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(3,-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$a=8$$
Vertex_1: $$\left(3,-1+8\right)$$
Vertex_1: $$\left(3;7\right)$$

Da biste pronašli vertex_2, oduzmite $$a$$ od y-koordinate ($$k$$) centra:
Vertex_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$a=8$$
Vertex_2: $$\left(3,-1-8\right)$$
Vertex_2: $$\left(3;-9\right)$$

$$b$$ predstavlja kraći poluprečnik elipse, koji je jednak polovini manje ose. Ovo se naziva poluosovina-semiminor.
Da biste pronašli vrednost $$b$$ , koristite standardnu formulu za vertikalne elipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$
$$b^2=16$$
Pronađi kvadratni koren obe strane jednačine:
$$b=4$$
Pošto b predstavlja distancu, ima samo pozitivnu vrednost.

U vertikalnoj elipsi, manja osa teče paralelno sa x-osom i prolazi kroz ko-vertekse elipse.
Ko-verteksi se pronalaze dodavanjem i oduzimanjem $$b$$ od x-koordinata ($$h$$) centra.

Da biste pronašli ko-vertiks_1, dodajte $$b$$ na x-koordinat ($$h$$) centra:
Co-vertex_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$b=4$$
Co-vertex_1: $$\left(3+4,-1\right)$$
Co-vertex_1: $$\left(7;-1\right)$$

Da pronađete ko-vertiks_2, oduzmite $$b$$ od x-koordinata ($$h$$) centra:
Co-vertex_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$b=4$$
Co-vertex_2: $$\left(3-4,-1\right)$$
Co-vertex_2: $$\left(-1;-1\right)$$

Fokusna dužina je udaljenost od centra elipse do svake fokusne tačke i obično se označava sa $$f$$.

Da biste pronašli $$f$$, koristite formulu:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=16$$
Umetnite $$a^2$$ i $$b^2$$ u formulu i pojednostavite:

$$f=\sqrt{64-16}$$

$$f=\sqrt{48}$$

$$f=6,928$$

Pošto $$f$$ predstavlja rastojanje, ono ima samo pozitivnu vrednost.

U vertikalnoj elipsi, glavna osa teče paralelno sa y-osom i prolazi kroz fokuse.
Fokusi se pronalaze dodavanjem i oduzimanjem $$f$$ od y-koordinate $$\left(k\right)$$ centra.

Da biste pronašli focus_1, dodajte $$f$$ na y-koordinatu $$\left(k\right)$$ centra:
Fokus_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$f=6,928$$
Fokus_1: $$\left(3,-1+6,928\right)$$
Fokus_1: $$\left(3;5,928\right)$$

Da biste pronašli focus_2, oduzmite $$f$$ od y-koordinate $$\left(k\right)$$ centra:
Fokus_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$f=6,928$$
Fokus_2: $$\left(3,-1-6,928\right)$$
Fokus_2: $$\left(3;-7,928\right)$$

Koristi formulaciju za površinu elipse kako bi našao površinu elipse:
$$\pi ·a·b$$
$$a=8$$
$$b=4$$
Ubaci $$a$$ i $$b$$ u formulaciju i pojednostavi:

$$\pi ·8·4$$

$$\pi ·32$$

Površina iznosi $$32\pi$$

Da bi pronašao x-presek(e), ubaci $$0$$ za $$y$$ u standardnoj jednačini elipse i reši rezultujuću kvadratnu jednačinu za $$x$$.
Klikni ovde za korak-po-korak objašnjenje kvadratne jednačine.

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(0+1\right)}^2}{64}=1$$

$$x_1=6,969$$

$$x_2=-0,969$$

Da bi pronašao y-presek(e), ubaci $$0$$ za $$x$$ u standardnoj jednačini elipse i reši rezultujuću kvadratnu jednačinu za $$y$$.
Klikni ovde za korak-po-korak objašnjenje kvadratne jednačine.

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$\frac{{\left(0-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$y_1=4,292$$

$$y_2=-6,292$$

Da bi pronašao ekscentricitet koristi formulaciju:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=16$$
$$a=8$$
Ubaci $$a^2$$ , $$b^2$$ i $$a$$ u formulaciju:

$$\frac{\sqrt{64-16}}{8}$$

$$\frac{\sqrt{48}}{8}$$

$$\frac{6,928}{8}$$

$$0,866$$

Ekscentricitet iznosi $$0,866$$