Rešenje - Svojstva elipsa

$$a$$ predstavlja duži poluprečnik elipse, koji je jednak polovini glavne ose.
Ovo se naziva polu-glavna osa.
Da biste pronašli vrednost $$a$$, koriste se standardna forma vertikalne elipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{25}=1$$
$$a^2=25$$
Izvršite kvadratni koren obiju strana jednačine:
$$a=5$$

Pošto $$a$$ predstavlja rastojanje, ono ima samo pozitivnu vrednost.

Na vertikalnoj elipsi, glavna osa je paralelna sa y-osem i prolazi kroz vrhove elipse. Pronađite vrhove dodavanjem i oduzimanjem $$a$$ od y-koordinate ($$k$$) centra.

Da biste pronašli vertex_1, dodajte $$a$$ na y-koordinatu ($$k$$) centra:
Vertex_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(2,-4\right)$$
$$h=2$$
$$k=-4$$
$$a=5$$
Vertex_1: $$\left(2,-4+5\right)$$
Vertex_1: $$\left(2;1\right)$$

Da biste pronašli vertex_2, oduzmite $$a$$ od y-koordinate ($$k$$) centra:
Vertex_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(2;-4\right)$$
$$h=2$$
$$k=-4$$
$$a=5$$
Vertex_2: $$\left(2,-4-5\right)$$
Vertex_2: $$\left(2;-9\right)$$

$$b$$ predstavlja kraći poluprečnik elipse, koji je jednak polovini manje ose. Ovo se naziva poluosovina-semiminor.
Da biste pronašli vrednost $$b$$ , koristite standardnu formulu za vertikalne elipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{25}=1$$
$$b^2=9$$
Pronađi kvadratni koren obe strane jednačine:
$$b=3$$
Pošto b predstavlja distancu, ima samo pozitivnu vrednost.

U vertikalnoj elipsi, manja osa teče paralelno sa x-osom i prolazi kroz ko-vertekse elipse.
Ko-verteksi se pronalaze dodavanjem i oduzimanjem $$b$$ od x-koordinata ($$h$$) centra.

Da biste pronašli ko-vertiks_1, dodajte $$b$$ na x-koordinat ($$h$$) centra:
Co-vertex_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(2;-4\right)$$
$$h=2$$
$$k=-4$$
$$b=3$$
Co-vertex_1: $$\left(2+3,-4\right)$$
Co-vertex_1: $$\left(5;-4\right)$$

Da pronađete ko-vertiks_2, oduzmite $$b$$ od x-koordinata ($$h$$) centra:
Co-vertex_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(2;-4\right)$$
$$h=2$$
$$k=-4$$
$$b=3$$
Co-vertex_2: $$\left(2-3,-4\right)$$
Co-vertex_2: $$\left(-1;-4\right)$$

Fokusna dužina je udaljenost od centra elipse do svake fokusne tačke i obično se označava sa $$f$$.

Da biste pronašli $$f$$, koristite formulu:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=25$$
$$b^2=9$$
Umetnite $$a^2$$ i $$b^2$$ u formulu i pojednostavite:

$$f=\sqrt{25-9}$$

$$f=\sqrt{16}$$

$$f=4$$

Pošto $$f$$ predstavlja rastojanje, ono ima samo pozitivnu vrednost.

U vertikalnoj elipsi, glavna osa teče paralelno sa y-osom i prolazi kroz fokuse.
Fokusi se pronalaze dodavanjem i oduzimanjem $$f$$ od y-koordinate $$\left(k\right)$$ centra.

Da biste pronašli focus_1, dodajte $$f$$ na y-koordinatu $$\left(k\right)$$ centra:
Fokus_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(2;-4\right)$$
$$h=2$$
$$k=-4$$
$$f=4$$
Fokus_1: $$\left(2,-4+4\right)$$
Fokus_1: $$\left(2;0\right)$$

Da biste pronašli focus_2, oduzmite $$f$$ od y-koordinate $$\left(k\right)$$ centra:
Fokus_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(2;-4\right)$$
$$h=2$$
$$k=-4$$
$$f=4$$
Fokus_2: $$\left(2,-4-4\right)$$
Fokus_2: $$\left(2;-8\right)$$

Koristi formulaciju za površinu elipse kako bi našao površinu elipse:
$$\pi ·a·b$$
$$a=5$$
$$b=3$$
Ubaci $$a$$ i $$b$$ u formulaciju i pojednostavi:

$$\pi ·5·3$$

$$\pi ·15$$

Površina iznosi $$15\pi$$

Da bi pronašao x-presek(e), ubaci $$0$$ za $$y$$ u standardnoj jednačini elipse i reši rezultujuću kvadratnu jednačinu za $$x$$.
Klikni ovde za korak-po-korak objašnjenje kvadratne jednačine.

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{25}=1$$

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{9}+\frac{{\left(0+4\right)}^2}{25}=1$$

$$x_1=\frac{19}{5}$$

$$x_2=\frac{1}{5}$$

Da bi pronašao y-presek(e), ubaci $$0$$ za $$x$$ u standardnoj jednačini elipse i reši rezultujuću kvadratnu jednačinu za $$y$$.
Klikni ovde za korak-po-korak objašnjenje kvadratne jednačine.

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{25}=1$$

$$\frac{{\left(0-2\right)}^2}{9}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{25}=1$$

$$y_1=-0,273$$

$$y_2=-7,727$$

Da bi pronašao ekscentricitet koristi formulaciju:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=25$$
$$b^2=9$$
$$a=5$$
Ubaci $$a^2$$ , $$b^2$$ i $$a$$ u formulaciju:

$$\frac{\sqrt{25-9}}{5}$$

$$\frac{\sqrt{16}}{5}$$

$$\frac{4}{5}$$

$$\frac{4}{5}$$

Ekscentricitet iznosi $$0,8$$