Rešenje - Svojstva elipsa

$$a$$ predstavlja duži poluprečnik elipse, koji je jednak polovini glavne ose. Ovo se naziva poluprečnik glavne ose.
Da biste našli vrednost $$a$$, upotrebite standardni oblik horizontalne elipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$
$$a^2=20$$
Koristite korenovanje na obe strane jednačine:
$$a=4,472$$

Pošto $$a$$ predstavlja rastojanje, ono ima samo pozitivnu vrednost.

Na horizontalnoj elipsi, glavna osa je paralelna sa x-osem i prolazi kroz vrhove elipse. Pronađite vrhove dodavanjem i oduzimanjem $$a$$ od x-koordinate $$\left(h\right)$$ centra.

Da biste našli vertex_1, dodajte $$a$$ na x-koordinatu $$\left(h\right)$$ centra:
Vertex_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(-4,-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$a=4.472$$
Vertex_1: $$\left(-4+4.472,-2\right)$$
Vertex_1: $$\left(0.472;-2\right)$$

Da biste pronašli vertex_2, oduzmite $$a$$ od x-koordinate ($$h$$) centra:
Vertex_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(-4,-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$a=4.472$$
Vertex_2: $$\left(-4-4.472,-2\right)$$
Vertex_2: $$\left(-8.472;-2\right)$$

$$b$$ predstavlja kraći poluprečnik elipse, koji je jednak polovini manje ose. Ovo se naziva poluprečnik manje ose.
Da biste našli vrednost $$b$$, upotrebite standardni oblik horizontalne elipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$
$$b^2=10$$
Koristite korenovanje na obe strane jednačine:
$$b=3,162$$
Pošto b predstavlja distancu, ona može biti samo pozitivna.

U horizontalnoj elipsi, manja osa se proteže paralelno sa y-osom i prolazi kroz ko-vertikale elipse.
Ko-vertikale pronađite tako što ćete dodati i oduzeti $$b$$ od y-koordinate $$\left(k\right)$$ centra.

Da biste pronašli ko-vertikalu_1, dodajte $$b$$ na y koordinatu $$\left(k\right)$$ centra:
Ko-vertikala_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(-4;-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$b=3,162$$
Ko-vertikala_1: $$\left(-4,-2+3,162\right)$$
Ko-vertikala_1: $$\left(-4;1,162\right)$$

Da biste pronašli ko-vertikalu_2, oduzmite $$b$$ od y-koordinate $$\left(k\right)$$ centra:
Ko-vertikala_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(-4;-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$b=3,162$$
Ko-vertikala_2: $$\left(-4,-2-3,162\right)$$
Ko-vertikala_2: $$\left(-4;-5,162\right)$$

Fokalna dužina je udaljenost od centra elipse do svake fokalne tačke i obično je predstavljena sa $$f$$.

Da biste pronašli $$f$$, koristite formulu:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=20$$
$$b^2=10$$
Ubacite $$a^2$$ i $$b^2$$ u formulu i pojednostavite:

$$f=\sqrt{20-10}$$

$$f=\sqrt{10}$$

$$f=3,162$$

Pošto $$f$$ predstavlja rastojanje, ono ima samo pozitivnu vrednost.

U horizontalnoj elipsi, glavna osa se proteže paralelno sa x-osom i prolazi kroz fokuse.
Pronađite fokuse tako što ćete dodati i oduzeti $$f$$ od x-koordinate $$\left(h\right)$$ centra.

Da biste našli fokus_1, dodajte $$f$$ na x-koordinatu $$\left(h\right)$$ centra:
Fokus_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(-4;-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$f=3,162$$
Fokus_1: $$\left(-4+3,162,-2\right)$$
Fokus_1: $$\left(-0,838;-2\right)$$

Da biste našli fokus_2, oduzmite $$f$$ od x-koordinate $$\left(h\right)$$ centra:
Fokus_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(-4;-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$f=3,162$$
Fokus_2: $$\left(-4-3,162,-2\right)$$
Fokus_2: $$\left(-7,162;-2\right)$$

Koristi formulaciju za površinu elipse kako bi našao površinu elipse:
$$\pi ·a·b$$
$$a=4,472$$
$$b=3,162$$
Ubaci $$a$$ i $$b$$ u formulaciju i pojednostavi:

$$\pi ·4,472·3,162$$

$$\pi ·14,14$$

Površina iznosi $$14,14\pi$$

Da bi pronašao x-presek(e), ubaci $$0$$ za $$y$$ u standardnoj jednačini elipse i reši rezultujuću kvadratnu jednačinu za $$x$$.
Klikni ovde za korak-po-korak objašnjenje kvadratne jednačine.

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(0+2\right)}^2}{10}=1$$

$$x_1=-0,536$$

$$x_2=-7,464$$

Da bi pronašao y-presek(e), ubaci $$0$$ za $$x$$ u standardnoj jednačini elipse i reši rezultujuću kvadratnu jednačinu za $$y$$.
Klikni ovde za korak-po-korak objašnjenje kvadratne jednačine.

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$

$$\frac{{\left(0+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$

$$y_1=-0,586$$

$$y_2=-3,414$$

Da bi pronašao ekscentricitet koristi formulaciju:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=20$$
$$b^2=10$$
$$a=4,472$$
Ubaci $$a^2$$ , $$b^2$$ i $$a$$ u formulaciju:

$$\frac{\sqrt{20-10}}{4,472}$$

$$\frac{\sqrt{10}}{4,472}$$

$$\frac{3,162}{4,472}$$

$$0,707$$

Ekscentricitet iznosi $$0,707$$