Rešenje - Svojstva elipsa

$$a$$ predstavlja duži poluprečnik elipse, koji je jednak polovini glavne ose. Ovo se naziva poluprečnik glavne ose.
Da biste našli vrednost $$a$$, upotrebite standardni oblik horizontalne elipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x+1\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{4}=1$$
$$a^2=25$$
Koristite korenovanje na obe strane jednačine:
$$a=5$$

Pošto $$a$$ predstavlja rastojanje, ono ima samo pozitivnu vrednost.

Na horizontalnoj elipsi, glavna osa je paralelna sa x-osem i prolazi kroz vrhove elipse. Pronađite vrhove dodavanjem i oduzimanjem $$a$$ od x-koordinate $$\left(h\right)$$ centra.

Da biste našli vertex_1, dodajte $$a$$ na x-koordinatu $$\left(h\right)$$ centra:
Vertex_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(-1,-1\right)$$
$$h=-1$$
$$k=-1$$
$$a=5$$
Vertex_1: $$\left(-1+5,-1\right)$$
Vertex_1: $$\left(4;-1\right)$$

Da biste pronašli vertex_2, oduzmite $$a$$ od x-koordinate ($$h$$) centra:
Vertex_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(-1,-1\right)$$
$$h=-1$$
$$k=-1$$
$$a=5$$
Vertex_2: $$\left(-1-5,-1\right)$$
Vertex_2: $$\left(-6;-1\right)$$

$$b$$ predstavlja kraći poluprečnik elipse, koji je jednak polovini manje ose. Ovo se naziva poluprečnik manje ose.
Da biste našli vrednost $$b$$, upotrebite standardni oblik horizontalne elipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x+1\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{4}=1$$
$$b^2=4$$
Koristite korenovanje na obe strane jednačine:
$$b=2$$
Pošto b predstavlja distancu, ona može biti samo pozitivna.

U horizontalnoj elipsi, manja osa se proteže paralelno sa y-osom i prolazi kroz ko-vertikale elipse.
Ko-vertikale pronađite tako što ćete dodati i oduzeti $$b$$ od y-koordinate $$\left(k\right)$$ centra.

Da biste pronašli ko-vertikalu_1, dodajte $$b$$ na y koordinatu $$\left(k\right)$$ centra:
Ko-vertikala_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(-1;-1\right)$$
$$h=-1$$
$$k=-1$$
$$b=2$$
Ko-vertikala_1: $$\left(-1,-1+2\right)$$
Ko-vertikala_1: $$\left(-1;1\right)$$

Da biste pronašli ko-vertikalu_2, oduzmite $$b$$ od y-koordinate $$\left(k\right)$$ centra:
Ko-vertikala_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(-1;-1\right)$$
$$h=-1$$
$$k=-1$$
$$b=2$$
Ko-vertikala_2: $$\left(-1,-1-2\right)$$
Ko-vertikala_2: $$\left(-1;-3\right)$$

Fokalna dužina je udaljenost od centra elipse do svake fokalne tačke i obično je predstavljena sa $$f$$.

Da biste pronašli $$f$$, koristite formulu:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=25$$
$$b^2=4$$
Ubacite $$a^2$$ i $$b^2$$ u formulu i pojednostavite:

$$f=\sqrt{25-4}$$

$$f=\sqrt{21}$$

$$f=4,583$$

Pošto $$f$$ predstavlja rastojanje, ono ima samo pozitivnu vrednost.

U horizontalnoj elipsi, glavna osa se proteže paralelno sa x-osom i prolazi kroz fokuse.
Pronađite fokuse tako što ćete dodati i oduzeti $$f$$ od x-koordinate $$\left(h\right)$$ centra.

Da biste našli fokus_1, dodajte $$f$$ na x-koordinatu $$\left(h\right)$$ centra:
Fokus_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(-1;-1\right)$$
$$h=-1$$
$$k=-1$$
$$f=4,583$$
Fokus_1: $$\left(-1+4,583,-1\right)$$
Fokus_1: $$\left(3,583;-1\right)$$

Da biste našli fokus_2, oduzmite $$f$$ od x-koordinate $$\left(h\right)$$ centra:
Fokus_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Centar: $$\left(h,k\right)=\left(-1;-1\right)$$
$$h=-1$$
$$k=-1$$
$$f=4,583$$
Fokus_2: $$\left(-1-4,583,-1\right)$$
Fokus_2: $$\left(-5,583;-1\right)$$

Koristi formulaciju za površinu elipse kako bi našao površinu elipse:
$$\pi ·a·b$$
$$a=5$$
$$b=2$$
Ubaci $$a$$ i $$b$$ u formulaciju i pojednostavi:

$$\pi ·5·2$$

$$\pi ·10$$

Površina iznosi $$10\pi$$

Da bi pronašao x-presek(e), ubaci $$0$$ za $$y$$ u standardnoj jednačini elipse i reši rezultujuću kvadratnu jednačinu za $$x$$.
Klikni ovde za korak-po-korak objašnjenje kvadratne jednačine.

$$\frac{{\left(x+1\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{4}=1$$

$$\frac{{\left(x+1\right)}^2}{25}+\frac{{\left(0+1\right)}^2}{4}=1$$

$$x_1=3,33$$

$$x_2=-5,33$$

Da bi pronašao y-presek(e), ubaci $$0$$ za $$x$$ u standardnoj jednačini elipse i reši rezultujuću kvadratnu jednačinu za $$y$$.
Klikni ovde za korak-po-korak objašnjenje kvadratne jednačine.

$$\frac{{\left(x+1\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{4}=1$$

$$\frac{{\left(0+1\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{4}=1$$

$$y_1=0,96$$

$$y_2=-2,96$$

Da bi pronašao ekscentricitet koristi formulaciju:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=25$$
$$b^2=4$$
$$a=5$$
Ubaci $$a^2$$ , $$b^2$$ i $$a$$ u formulaciju:

$$\frac{\sqrt{25-4}}{5}$$

$$\frac{\sqrt{21}}{5}$$

$$\frac{4,583}{5}$$

$$0,917$$

Ekscentricitet iznosi $$0,917$$