Rešenje - Rešavanje kvadratnih nejednačina pomoću kvadratne formule

Koeficijenti nejednakosti, $$-16x^2+180x-447>0$$, su:

$$a$$ = -16

$$b$$ = 180

$$c$$ = -447

Kvadratna formula daje korene za $$a{x}^2+bx+c>0$$, u kojoj su $$a$$, $$b$$ i $$c$$ brojevi (ili koeficijenti), kako sledi:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-180\pm sqrt\left({180}^2-4*-16*-447\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$x=\left(-180\pm sqrt\left(32400-4*-16*-447\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$x=\left(-180\pm sqrt\left(32400--64*-447\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$x=\left(-180\pm sqrt\left(32400-28608\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$x=\left(-180\pm sqrt\left(3792\right)\right)/\left(2*-16\right)$$

$$x=\left(-180\pm sqrt\left(3792\right)\right)/\left(-32\right)$$

da biste dobili rezultat:

$$x=\left(-180\pm sqrt\left(3792\right)\right)/\left(-32\right)$$

Uprosti $$3792$$ pronalaženjem njegovih prostih faktora:

Faktorizacija $$3792$$ na proste faktore je $$2^4\cdot 3\cdot 79$$

$$x=\left(-180\pm 4*sqrt\left(237\right)\right)/\left(-32\right)$$

± znači da su moguća dva korena:

Odvojite jednačine: $$x_1=\left(-180+4*sqrt\left(237\right)\right)/\left(-32\right)$$ i $$x_2=\left(-180-4*sqrt\left(237\right)\right)/\left(-32\right)$$

$$x_1=\left(-180+4*sqrt\left(237\right)\right)/\left(-32\right)$$

$$x_1=\left(-180+4*15,395\right)/\left(-32\right)$$

$$x_1=\left(-180+4*15,395\right)/\left(-32\right)$$

$$x_1=\left(-180+61,579\right)/\left(-32\right)$$

$$x_1=\left(-180+61,579\right)/\left(-32\right)$$

$$x_1=\left(-118,421\right)/\left(-32\right)$$

$$x_1=-118,\frac{421}{-}32$$

$$x_1=3,701$$

$$x_2=\left(-180-4*sqrt\left(237\right)\right)/\left(-32\right)$$

$$x_2=\left(-180-4*15,395\right)/\left(-32\right)$$

$$x_2=\left(-180-4*15,395\right)/\left(-32\right)$$

$$x_2=\left(-180-61,579\right)/\left(-32\right)$$

$$x_2=\left(-180-61,579\right)/\left(-32\right)$$

$$x_2=\left(-241,579\right)/\left(-32\right)$$

$$x_2=-241,\frac{579}{-}32$$

$$x_2=7,549$$

Da bismo pronašli interval kvadratne nejednačine, započinjemo pronalaženjem parabole.

Koreni parabole (tamo gde se susreće sa x-osom) su: 3,701, 7,549.

Budući da je koeficijent $$a$$ negativan ($$a$$=-16), ovo je "negativna" kvadratna nejednakost i parabola je usmerena nadole, kao mrgud.

Ako je znak nejednakosti ≤ ili ≥, intervali uključuju korene i koristimo punu liniju. Ako je znak nejednakosti < ili >, intervali ne uključuju korene i koristimo isprekidanu liniju.

Pošto $$-16x^2+180x-447>0$$ ima znak nejednakosti $$>$$, tražimo intervale parabole iznad x-ose.

Rešenje: $$$$

Notacija intervala: $$$$