Rešenje - Rešavanje kvadratnih nejednačina pomoću kvadratne formule

Koeficijenti nejednakosti, $$-1x^2-14x-42<0$$, su:

$$a$$ = -1

$$b$$ = -14

$$c$$ = -42

Kvadratna formula daje korene za $$a{x}^2+bx+c<0$$, u kojoj su $$a$$, $$b$$ i $$c$$ brojevi (ili koeficijenti), kako sledi:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(-{14}^2-4*-1*-42\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(196-4*-1*-42\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(196--4*-42\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(196-168\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(28\right)\right)/\left(2*-1\right)$$

$$x=\left(-1*-14\pm sqrt\left(28\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x=\left(14\pm sqrt\left(28\right)\right)/\left(-2\right)$$

da biste dobili rezultat:

$$x=\left(14\pm sqrt\left(28\right)\right)/\left(-2\right)$$

Uprosti $$28$$ pronalaženjem njegovih prostih faktora:

Faktorizacija $$28$$ na proste faktore je $$2^2\cdot 7$$

$$x=\left(14\pm 2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-2\right)$$

± znači da su moguća dva korena:

Odvojite jednačine: $$x_1=\left(14+2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-2\right)$$ i $$x_2=\left(14-2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(14+2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(14+2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(14+2*2,646\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(14+2*2,646\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(14+5,292\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(14+5,292\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=\left(19,292\right)/\left(-2\right)$$

$$x_1=19,\frac{292}{-}2$$

$$x_1=-9,646$$

$$x_2=\left(14-2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(14-2*sqrt\left(7\right)\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(14-2*2,646\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(14-2*2,646\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(14-5,292\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(14-5,292\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=\left(8,708\right)/\left(-2\right)$$

$$x_2=8,\frac{708}{-}2$$

$$x_2=-4,354$$

Da bismo pronašli interval kvadratne nejednačine, započinjemo pronalaženjem parabole.

Koreni parabole (tamo gde se susreće sa x-osom) su: -9,646, -4,354.

Budući da je koeficijent $$a$$ negativan ($$a$$=-1), ovo je "negativna" kvadratna nejednakost i parabola je usmerena nadole, kao mrgud.

Ako je znak nejednakosti ≤ ili ≥, intervali uključuju korene i koristimo punu liniju. Ako je znak nejednakosti < ili >, intervali ne uključuju korene i koristimo isprekidanu liniju.

Budući da $$-1x^2-14x-42<0$$ ima znak nejednakosti $$<$$, tražimo intervale parabole ispod x-ose.

Rešenje: $$$$

Notacija intervala: $$$$