Rešenje - Rešavanje kvadratnih nejednačina pomoću kvadratne formule

Koeficijenti nejednakosti, $$-3x^2+9x-3\le 0$$, su:

$$a$$ = -3

$$b$$ = 9

$$c$$ = -3

Kvadratna formula daje korene za $$a{x}^2+bx+c\le 0$$, u kojoj su $$a$$, $$b$$ i $$c$$ brojevi (ili koeficijenti), kako sledi:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-9\pm sqrt\left(9^2-4*-3*-3\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-9\pm sqrt\left(81-4*-3*-3\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-9\pm sqrt\left(81--12*-3\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-9\pm sqrt\left(81-36\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-9\pm sqrt\left(45\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-9\pm sqrt\left(45\right)\right)/\left(-6\right)$$

da biste dobili rezultat:

$$x=\left(-9\pm sqrt\left(45\right)\right)/\left(-6\right)$$

Uprosti $$45$$ pronalaženjem njegovih prostih faktora:

Faktorizacija $$45$$ na proste faktore je $$3^2\cdot 5$$

$$x=\left(-9\pm 3*sqrt\left(5\right)\right)/\left(-6\right)$$

± znači da su moguća dva korena:

Odvojite jednačine: $$x_1=\left(-9+3*sqrt\left(5\right)\right)/\left(-6\right)$$ i $$x_2=\left(-9-3*sqrt\left(5\right)\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-9+3*sqrt\left(5\right)\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-9+3*2,236\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-9+3*2,236\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-9+6,708\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-9+6,708\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-2,292\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=-2,\frac{292}{-}6$$

$$x_1=0,382$$

$$x_2=\left(-9-3*sqrt\left(5\right)\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=\left(-9-3*2,236\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=\left(-9-3*2,236\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=\left(-9-6,708\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=\left(-9-6,708\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=\left(-15,708\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=-15,\frac{708}{-}6$$

$$x_2=2,618$$

Da bismo pronašli interval kvadratne nejednačine, započinjemo pronalaženjem parabole.

Koreni parabole (tamo gde se susreće sa x-osom) su: 0,382, 2,618.

Budući da je koeficijent $$a$$ negativan ($$a$$=-3), ovo je "negativna" kvadratna nejednakost i parabola je usmerena nadole, kao mrgud.

Ako je znak nejednakosti ≤ ili ≥, intervali uključuju korene i koristimo punu liniju. Ako je znak nejednakosti < ili >, intervali ne uključuju korene i koristimo isprekidanu liniju.

Budući da $$-3x^2+9x-3\le 0$$ ima znak nejednakosti $$\le$$, tražimo intervale parabole ispod x-ose.

Rešenje: $$$$

Notacija intervala: $$$$