Rešenje - Rešavanje kvadratnih nejednačina pomoću kvadratne formule

Koeficijenti nejednakosti, $$-3x^2+5x+2\ge 0$$, su:

$$a$$ = -3

$$b$$ = 5

$$c$$ = 2

Kvadratna formula daje korene za $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, u kojoj su $$a$$, $$b$$ i $$c$$ brojevi (ili koeficijenti), kako sledi:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(5^2-4*-3*2\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(25-4*-3*2\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(25--12*2\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(25--24\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(25+24\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(49\right)\right)/\left(2*-3\right)$$

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(49\right)\right)/\left(-6\right)$$

da biste dobili rezultat:

$$x=\left(-5\pm sqrt\left(49\right)\right)/\left(-6\right)$$

Uprosti $$49$$ pronalaženjem njegovih prostih faktora:

Faktorizacija $$49$$ na proste faktore je $$7^2$$

$$x=\left(-5\pm 7\right)/\left(-6\right)$$

± znači da su moguća dva korena:

Odvojite jednačine: $$x_1=\left(-5+7\right)/\left(-6\right)$$ i $$x_2=\left(-5-7\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-5+7\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(-5+7\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\left(2\right)/\left(-6\right)$$

$$x_1=\frac{2}{-}6$$

$$x_1=-0,333$$

$$x_2=\left(-5-7\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=\left(-5-7\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=\left(-12\right)/\left(-6\right)$$

$$x_2=-\frac{12}{-}6$$

$$x_2=2$$

Da bismo pronašli interval kvadratne nejednačine, započinjemo pronalaženjem parabole.

Koreni parabole (tamo gde se susreće sa x-osom) su: -0,333, 2.

Budući da je koeficijent $$a$$ negativan ($$a$$=-3), ovo je "negativna" kvadratna nejednakost i parabola je usmerena nadole, kao mrgud.

Ako je znak nejednakosti ≤ ili ≥, intervali uključuju korene i koristimo punu liniju. Ako je znak nejednakosti < ili >, intervali ne uključuju korene i koristimo isprekidanu liniju.

Pošto $$-3x^2+5x+2\ge 0$$ ima znak nejednakosti $$\ge$$, tražimo intervale parabole iznad x-ose.

Rešenje: $$$$

Notacija intervala: $$$$