Unesi jednačinu ili zadatak

Ulaz kamere nije prepoznat!

Rešenje - Rešavanje kvadratnih jednačina popunjavanjem kvadrata

Tačan oblik:

y_{1} = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot \sqrt{265}}{20}

y_1=\frac{3}{4}+\frac{3\cdot\sqrt{265}}{20}

y_{2} = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot \sqrt{265}}{20}

y_2=\frac{3}{4}-\frac{3\cdot\sqrt{265}}{20}

Decimalni oblik:

y_{1} = 3, 192

y_1=3,192

y_{2} = - 1, 692

y_2=-1,692

Vidi korake

Objašnjenje korak po korak

1. Identifikujte koeficijente

Koristite standardni oblik kvadratne jednačine, $a x^{2} + b x + c = 0$ , da pronađete koeficijente:

$10 y^{2} - 15 y - 54 = 0$

$a = 10$
$b = - 15$
$c = - 54$

2. Neka koeficijent a bude jednak 1

Pošto je $a = 10$ , podelite sve koeficijente i konstante na obe strane jednačine sa $10$ :

$10 y^{2} - 15 y - 54 = 0$

$\frac{10}{10} y^{2} - 15 \frac{y}{10} - \frac{54}{10} = \frac{0}{10}$

Uprosti izraz

$y^{2} - \frac{3}{2} y - \frac{27}{5} = 0$

Koeficijenti su:
$a = 1$
$b = - \frac{3}{2}$
$c = - \frac{27}{5}$

3. Premestite konstantu na desnu stranu jednačine i kombinujte

Dodajte $\frac{27}{5}$ na obe strane jednačine:

$y^{2} - \frac{3}{2} y - \frac{27}{5} = 0$

$y^{2} - \frac{3}{2} y - \frac{27}{5} + \frac{27}{5} = 0 + \frac{27}{5}$

$y^{2} - \frac{3}{2} y = \frac{27}{5}$

4. Dovršite kvadrat

Da biste pretvorili levu stranu jednačine u savršen kvadratni trinom, dodajte novu konstantu jednaku sa ${(\frac{b}{2})}^{2}$ u jednačinu:

$b = - \frac{3}{2}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- \frac{3}{2}}{2})}^{2}$

Koristite pravilo stepena i frakcija ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- \frac{3}{2}}{2})}^{2} = \frac{{(- \frac{3}{2})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(- \frac{3}{2})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{9}{4}}{4}$

$\frac{\frac{9}{4}}{4} = \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{16}$

Dodaj $\frac{9}{16}$ na obe strane jednačine:

5 koraka još

$y^{2} - \frac{3}{2} y = \frac{27}{5}$

$y^{2} - \frac{3}{2} y + \frac{9}{16} = \frac{27}{5} + \frac{9}{16}$

Pronađi najmanji zajednički imenilac:

$y^{2} - \frac{3}{2} y + \frac{9}{16} = \frac{(27 \cdot 16)}{(5 \cdot 16)} + \frac{(9 \cdot 5)}{(16 \cdot 5)}$

Pomnoži imenioce:

$y^{2} - \frac{3}{2} y + \frac{9}{16} = \frac{(27 \cdot 16)}{80} + \frac{(9 \cdot 5)}{80}$

Pomnoži brojioce:

$y^{2} - \frac{3}{2} y + \frac{9}{16} = \frac{432}{80} + \frac{45}{80}$

Kombinuj razlomke:

$y^{2} - \frac{3}{2} y + \frac{9}{16} = \frac{(432 + 45)}{80}$

Kombinuj brojioce:

$y^{2} - \frac{3}{2} y + \frac{9}{16} = \frac{477}{80}$

Sada kada imamo savršeni kvadratni trinom, možemo ga napisati u obliku savršenog kvadrata dodavanjem polovine koeficijenta $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = - \frac{3}{2}$

2 koraka još

$\frac{b}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Pojednostavi deljenje:

$\frac{b}{2} = \frac{- 3}{(2 \cdot 2)}$

Pojednostavi izraz:

$\frac{b}{2} = \frac{- 3}{4}$

$y^{2} - \frac{3}{2} y + \frac{9}{16} = \frac{477}{80}$

${(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{477}{80}$

5. Rešite za $x$

Izvucite kvadratni koren sa obe strane jednačine: VAŽNO: Kada nalazimo kvadratni koren konstante, dobijamo dva rešenja: pozitivno i negativno

${(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{477}{80}$

$\sqrt{{(y - \frac{3}{4})}^{2}} = \sqrt{\frac{477}{80}}$

Poništite kvadrat i kvadratni koren sa leve strane jednačine:

$y - \frac{3}{4} = \pm \sqrt{\frac{477}{80}}$

Dodaj $\frac{3}{4}$ na obe strane

$y - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{477}{80}}$

Pojednostavi levu stranu

$y = \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{477}{80}}$

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{477}}{\sqrt{80}}$

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{477} \cdot \sqrt{80}}{\sqrt{80} \cdot \sqrt{80}}$

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{38160}}{80}$

Napiši proste faktore:

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 53}}{80}$

Grupiši proste faktore u parove i ponovo napiši u obliku eksponencijalne funkcije:

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 53}}{80}$

Koristi pravilo $\sqrt{(x^{2})} = x$ da bi se dodatno uprostilo:

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5 \cdot 53}}{80}$

Izvedi bilo koje množenje ili deljenje, sleva udesno:

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{5 \cdot 53}}{80}$

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{12 \cdot \sqrt{5 \cdot 53}}{80}$

Izvedi bilo koje množenje ili deljenje, sleva udesno:

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{12 \cdot \sqrt{265}}{80}$

Uprosti razlomak

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{3 \cdot \sqrt{265}}{20}$

$y_{1} = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot \sqrt{265}}{20}$
$y_{2} = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot \sqrt{265}}{20}$

Kako smo se snašli?

Ostavite nam povratne informacije

Zašto naučiti ovo

U svojoj najosnovnijoj funkciji, kvadratne jednačine definišu oblike poput krugova, elipsi i parabola. Ovi oblici se zauzvrat mogu koristiti za predviđanje krivulje objekta u pokretu, poput lopte koju je šutirao fudbaler ili ispaljene iz topa.
Kada se govori o kretanju objekta kroz prostor, koji je bolje mesto za početak od samog svemira, sa pokretanjem planeta oko sunca u našem solarnom sistemu. Kvadratna jednačina je korišćena za utvrđivanje da su orbite planeta eliptične, a ne kružne. Određivanje puta i brzine koje objekat pređe kroz prostor je moguće čak i nakon što se zaustavi: kvadratna jednačina može da izračuna koliko brzo se vozilo kretalo kada se sudarilo. S informacijama poput ovih, auto industrija može da dizajnira kočnice da bi sprečila sudare u budućnosti. Mnoge industrije koriste kvadratnu jednačinu da bi predvideli i na taj način poboljšali vek trajanja i bezbednost svojih proizvoda.

Pojmovi i teme

Rešavanje kvadratnih jednačina dopunjavanjem kvadrata