Rešenje - Rešavanje kvadratnih jednačina popunjavanjem kvadrata

$$3t^2-9t=1$$

$$3t^2-9t-1=1-1$$

$$3t^2-9t-1=0$$

Koristite standardni oblik kvadratne jednačine, $$a{x}^2+bx+c=0$$ , da pronađete koeficijente:

$$3t^2-9t-1=0$$

$$a=3$$
$$b=-9$$
$$c=-1$$

Pošto je $$a=3$$, podelite sve koeficijente i konstante na obe strane jednačine sa $$3$$:

$$3t^2-9t-1=0$$

$$\frac{3}{3}{t}^2-9\frac{t}{3}-\frac{1}{3}=\frac{0}{3}$$

$$t^2-3t-\frac{1}{3}=0$$

Koeficijenti su:
$$a=1$$
$$b=-3$$
$$c=-\frac{1}{3}$$

Dodajte $$\frac{1}{3}$$ na obe strane jednačine:

$$t^2-3t-\frac{1}{3}=0$$

$$t^2-3t-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=0+\frac{1}{3}$$

$$t^2-3t=\frac{1}{3}$$

Da biste pretvorili levu stranu jednačine u savršen kvadratni trinom, dodajte novu konstantu jednaku sa $${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$ u jednačinu:

$$b=-3$$

Dodaj $$\frac{9}{4}$$ na obe strane jednačine:

Sada kada imamo savršeni kvadratni trinom, možemo ga napisati u obliku savršenog kvadrata dodavanjem polovine koeficijenta $$b$$ , $$\frac{b}{2}$$ :
$$b=-3$$

$$t^2-3t+\frac{9}{4}=\frac{31}{12}$$

$${\left(t-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{31}{12}$$

Izvucite kvadratni koren sa obe strane jednačine: VAŽNO: Kada nalazimo kvadratni koren konstante, dobijamo dva rešenja: pozitivno i negativno

$${\left(t-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{31}{12}$$

$$\sqrt{{\left(t-\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{31}{12}}$$

$$t-\frac{3}{2}=\pm \sqrt{\frac{31}{12}}$$

$$t-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{31}{12}}$$

$$t=\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{31}{12}}$$

$$t=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{31}}{\sqrt{12}}$$

$$t=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{31}·\sqrt{12}}{\sqrt{12}·\sqrt{12}}$$

$$t=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{372}}{12}$$

$$t=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{2·2·3·31}}{12}$$

$$t=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{2^2·3·31}}{12}$$

$$t=\frac{3}{2}\pm \frac{2·\sqrt{3·31}}{12}$$

$$t=\frac{3}{2}\pm \frac{2·\sqrt{93}}{12}$$

$$t=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{93}}{6}$$

$$t_1=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{93}}{6}$$
$$t_2=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{93}}{6}$$