Tiger Algebra Kalkulator

Geometrijski niz, koji se naziva i geometrijski red ili geometrijska progresija, je skup brojeva formiranih množenjem svakog prethodnog broja u skupu konstantom. Faktor kojim se svaki uzastopni član množi naziva se zajednički odnos jer je zajednički za sve članove u skupu. Zajednički odnos ne može biti jednak $$0$$ $$\left(r\ne 0\right)$$.
Standardni oblik geometrijskih nizova se može izraziti kao:
$$a,a·r,a·r^2,a·r^3,a·r^{\mathrm{4...}}$$ u kom:

• $$a$$ predstavlja prvi član i ponekad se piše kao $$a_1$$.
• $$r$$ predstavlja zajednički odnos.

Primer: ako je prvi član niza $$1$$ a zajednički odnos je $$3$$, tada se svaki uzastopni član može dobiti množenjem prethodnog člana sa 3, a niz će izgledati ovako:
$$1,3,9,27,\mathrm{81...}$$
koji se takođe može napisati kao:
$$1,1·3,1·3^2,1·3^3,1·3^{\mathrm{4...}}$$

Formule
Pronalaženje bilo kog člana ($$a_n$$) u geometrijskom nizu:
$$a_n=a·r^{n-1}$$

• $$a$$ predstavlja prvi član.
• $$n$$ predstavlja poziciju člana u nizu. Niz sa $$n$$ brojem članova bi bio napisan, na primer, kao:
  $$a,a·r,a·r^2,a·r^3,a·r^{\mathrm{4...}}a·r^{n-1}$$ u kom je poslednji član podignut na eksponent $$n-1$$ (jer je prvi član podignut na eksponent $$0$$).
• $$r$$ predstavlja zajednički odnos.

Primer: Da biste pronašli sledeći član u $$1,3,9,27,\mathrm{81...}$$ koji bi bio 6. član, uključili bismo sledeće u formulu opšteg člana, $$a_n=a·r^{n-1}$$:
$$a$$ (prvi član)$$=1$$
$$r$$ (zajednički odnos)$$=3$$
$$n$$ (broj člana)$$=6$$.

Ovo bi nam dalo $$a_6=1·3^{6-1}$$, koje bismo mogli rešiti da dobijemo $$a_6=243$$. Dakle, naš niz bi bio: $$1,3,9,27,81,\mathrm{243...}$$

Pronalaženje zbira svih članova u geometrijskom nizu:
$$s=a\left(\left(1-r^n\right)/\left(1-r\right)\right)$$

• $$s$$ je zbir članova u nizu.
• $$a$$ predstavlja prvi član.
• $$n$$ predstavlja poziciju člana u nizu.
• $$r$$ predstavlja zajednički odnos.

Primer: Da biste pronašli zbir od $$1,3,9,27,81$$ stavljamo sledeće u formulu zbira, $$s=a\left(\left(1-r^n\right)/\left(1-r\right)\right)$$:
$$a$$ (prvi član)$$=1$$
$$r$$ (zajednički odnos)$$=3$$
$$n$$ (ukupan broj članova)$$=5$$.

Ovo bi nam dalo $$s=1\left(\left(1-35\right)/\left(1-3\right)\right)$$, koje bismo mogli rešiti da dobijemo $$s=121$$.