Калькулятор Tiger Algebra
Системы линейных уравнений
Линейные уравнения
Линейное уравнение - это уравнение, которое представляет прямую. Обычно оно содержит константы и переменные, которые не могут содержать степени или корни, и обычно записывается одним из следующих способов:
Форма точка-наклон
Например:
Форма-уравнение прямой в нормальной (стандартной) форме
Например:
Стандартная форма
Например:
Важно: в этой форме, и не могут быть оба нулями ().
Хотя эти уравнения могут выглядеть по-разному, они все на самом деле представляют собой одну и ту же прямую. Если у вас есть графический калькулятор, попробуйте построить каждое уравнение и сравнить результаты. Графики будут одинаковы!
Системы линейных уравнений
Иногда нам дают два или более уравнения, которые могут быть сделаны истинными с использованием тех же переменных.
Например:
Когда и , оба уравнения истинны.
Эти уравнения называются системами линейных уравнений, и мы можем найти их переменные, используя один из двух методов: методом исключения и методом подстановки.
Решение методом исключения
Основные шаги для решения системы линейных уравнений методом исключения:
1. Перепишите уравнения так, чтобы переменные были в том же порядке:
таким образом, они становятся
2. Умножьте одно или оба уравнения на ненулевые числа, которые при сложении или вычитании сделали бы одну пару терминов равной нулю:
тааким образом, они становятся
3. Сложите или вычтите уравнения, чтобы исключить их общую переменную:
4. Решите уравнение, чтобы выделить оставшуюся переменную:
5. Подставьте эту переменную в одно из исходных уравнений и упростите, чтобы выделить оставшуюся переменную:
Переменные, которые удовлетворяют оба уравнения, это и или
6. Повторите по мере необходимости, например, когда в системе более двух линейных уравнений.
Решение методом подстановки
Основные шаги для решения системы линейных уравнений методом подстановки:
1. Решите для или одно из уравнений, выделив переменную:
2. Подставьте получившуюся переменную в другое уравнение и решите:
3. Подставьте получившуюся переменную в любое из исходных уравнений и решите:
Переменные, которые удовлетворяют оба уравнения, это и или
4. Повторите по мере необходимости, например, когда в системе более двух линейных уравнений.
Есть три возможных типа решения для систем линейных уравнений:
Нет решения : Нет переменных, которые сделали бы все уравнения в системе верными. На графике линии, представляющие уравнения, не касаются. Если это линейные уравнения, эти линии будут параллельны друг другу.
Одно решение : Существует один набор переменных, который сделает все уравнения в системе верными. На графике линии, представляющие уравнения, пересекаются один раз. Точка, в которой они пересекаются, является решением системы.
Бесконечное количество решений : Существует бесконечное количество переменных, которые сделали бы все уравнения в системе верными. Это происходит, когда все уравнения в системе одинаковы или являются вариациями одного и того же уравнения и, следовательно, представляют одну и ту же прямую.
Другие актуальные термины:
Совместные уравнения : два или более уравнения совместны, если они имеют одно или бесконечное количество решений. Например: и совместны, потому что они имеют одно решение .
Несовместные уравнения : два или более уравнения несовместны, когда у них не общих решений, то есть их линии не имеют общих точек. Линии несовместных уравнений идут параллельно друг другу. Например: и несовместны, потому что имеет разное значение в каждом уравнении, что означает, что уравнения не имеют общих решений.
Независимые уравнения : два или более уравнения независимы, когда они представляют разные линии.
Зависимые уравнения : два или более уравнения зависимы, когда они представляют одну и ту же линию, это дает каждому уравнению бесконечное количество решений. Зависимые уравнения появляются, когда уравнение написано в различных формах. Например: и представляют ту же линию и, следовательно, являются зависимыми.
Линейное уравнение - это уравнение, которое представляет прямую. Обычно оно содержит константы и переменные, которые не могут содержать степени или корни, и обычно записывается одним из следующих способов:
Форма точка-наклон
Например:
Форма-уравнение прямой в нормальной (стандартной) форме
Например:
Стандартная форма
Например:
Важно: в этой форме, и не могут быть оба нулями ().
Хотя эти уравнения могут выглядеть по-разному, они все на самом деле представляют собой одну и ту же прямую. Если у вас есть графический калькулятор, попробуйте построить каждое уравнение и сравнить результаты. Графики будут одинаковы!
Системы линейных уравнений
Иногда нам дают два или более уравнения, которые могут быть сделаны истинными с использованием тех же переменных.
Например:
Когда и , оба уравнения истинны.
Эти уравнения называются системами линейных уравнений, и мы можем найти их переменные, используя один из двух методов: методом исключения и методом подстановки.
Решение методом исключения
Основные шаги для решения системы линейных уравнений методом исключения:
1. Перепишите уравнения так, чтобы переменные были в том же порядке:
таким образом, они становятся
2. Умножьте одно или оба уравнения на ненулевые числа, которые при сложении или вычитании сделали бы одну пару терминов равной нулю:
тааким образом, они становятся
3. Сложите или вычтите уравнения, чтобы исключить их общую переменную:
4. Решите уравнение, чтобы выделить оставшуюся переменную:
5. Подставьте эту переменную в одно из исходных уравнений и упростите, чтобы выделить оставшуюся переменную:
Переменные, которые удовлетворяют оба уравнения, это и или
6. Повторите по мере необходимости, например, когда в системе более двух линейных уравнений.
Решение методом подстановки
Основные шаги для решения системы линейных уравнений методом подстановки:
1. Решите для или одно из уравнений, выделив переменную:
2. Подставьте получившуюся переменную в другое уравнение и решите:
3. Подставьте получившуюся переменную в любое из исходных уравнений и решите:
Переменные, которые удовлетворяют оба уравнения, это и или
4. Повторите по мере необходимости, например, когда в системе более двух линейных уравнений.
Есть три возможных типа решения для систем линейных уравнений:
Нет решения : Нет переменных, которые сделали бы все уравнения в системе верными. На графике линии, представляющие уравнения, не касаются. Если это линейные уравнения, эти линии будут параллельны друг другу.
Одно решение : Существует один набор переменных, который сделает все уравнения в системе верными. На графике линии, представляющие уравнения, пересекаются один раз. Точка, в которой они пересекаются, является решением системы.
Бесконечное количество решений : Существует бесконечное количество переменных, которые сделали бы все уравнения в системе верными. Это происходит, когда все уравнения в системе одинаковы или являются вариациями одного и того же уравнения и, следовательно, представляют одну и ту же прямую.
Другие актуальные термины:
Совместные уравнения : два или более уравнения совместны, если они имеют одно или бесконечное количество решений. Например: и совместны, потому что они имеют одно решение .
Несовместные уравнения : два или более уравнения несовместны, когда у них не общих решений, то есть их линии не имеют общих точек. Линии несовместных уравнений идут параллельно друг другу. Например: и несовместны, потому что имеет разное значение в каждом уравнении, что означает, что уравнения не имеют общих решений.
Независимые уравнения : два или более уравнения независимы, когда они представляют разные линии.
Зависимые уравнения : два или более уравнения зависимы, когда они представляют одну и ту же линию, это дает каждому уравнению бесконечное количество решений. Зависимые уравнения появляются, когда уравнение написано в различных формах. Например: и представляют ту же линию и, следовательно, являются зависимыми.