Калькулятор Tiger Algebra

Дробь — это часть целого, которую обычно записывают как числитель (представляющий меньшую часть) над знаменателем (представляющим целое). Чтобы выразить дробь как одно число (частное), числитель делится на знаменатель. Существует три вида дробей:

• Правильная дробь: дробь, в которой числитель меньше знаменателя. $$\frac{1}{4}$$ является правильной дробью.


• Неправильная дробь: дробь, в которой числитель больше знаменателя. $$\frac{5}{4}$$ является неправильной дробью.


• Смешанная дробь: целое число плюс правильная дробь. $$2\frac{3}{4}$$ является смешанной дробью.

Важно отметить, что неправильные и смешанные дроби могут выражать одни и те же значения. Например, $$\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$$. При выполнении операций с дробями лучше сначала преобразовать целые числа и/или смешанные дроби в неправильные дроби:

• Чтобы преобразовать целое число в неправильную дробь, следует просто поместить целое число над $$1$$. Так, $$3$$ становится $$\frac{3}{1}$$.
• Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную, необходимо умножить знаменатель (число внизу) на целое число (число впереди или слева от дроби), сложить результат с числителем (число вверху) и записать сумму над исходным знаменателем как новый числитель. Например, чтобы преобразовать $$2\frac{3}{4}$$ в неправильную дробь, необходимо умножить знаменатель $$4$$ на целое число $$2$$, что в результате дает $$8$$. Затем следует сложить это число с числителем $$3$$, что равно $$11$$. Последнее число в конце помещают над исходным знаменателем $$4$$, что дает $$\frac{11}{4}$$.

Сложение и вычитание дробей

Общее правило сложения дробей выглядит следующим образом: $$a/b+c/d=\left(ad\right)/\left(bd\right)+\left(bc\right)/\left(bd\right)=\left(ad+bc\right)/\left(bd\right)$$ Общее правило вычитания дробей выглядит следующим образом: $$a/b-c/d=\left(ad\right)/\left(bd\right)-\left(bc\right)/\left(bd\right)=\left(ad-bc\right)/\left(bd\right)$$ Для сложения и вычитания дробей необходимо выполнить 4 шага:

1. Сначала следует по возможности упростить дроби, сократив их. Разделить числитель (число вверху) и знаменатель (число внизу) на их наибольший общий делитель (НОД). НОД множества чисел представляет собой наибольшее число, которое может делиться на все числа множества без остатка. Например, $$3$$ — наибольшее число, на которое можно разделить $$3$$ и $$9$$, поэтому мы можем разделить числитель и знаменатель $$\frac{3}{9}$$ на $$3$$, чтобы сократить дробь до $$\frac{1}{3}$$. Еще один пример — дробь $$\frac{4}{16}$$, которую можно сократить до $$\frac{1}{4}$$.


2. Найти общий знаменатель дробей. Существует два способа найти общий знаменатель:
   1. Умножить верхнюю и нижнюю часть каждой дроби на знаменатель другой дроби. Например, $$1/3+1/4=\left(1·4\right)/\left(3·4\right)+\left(1·3\right)/\left(4·3\right)=\left(1·4\right)/12+\left(1·3\right)/12=4/12+3/12$$
   2. Найти наименьший общий знаменатель. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и используем его как общий знаменатель. Существует два способа найти НОК: перечисление кратные чисел (скоро будет доступно!) и разложение на простые множители.


3. Сложить или вычесть числители. Сейчас дроби должны иметь одинаковый знаменатель, то есть можно просто сложить или вычесть числители, записав результат над найденным ранее знаменателем. Так, $$\frac{4}{12}+\frac{3}{12}$$ становится $$\frac{7}{12}$$.


4. Упростить полученную дробь, сократив по возможности согласно инструкции в шаге 1. Если результат был $$\frac{4}{8}$$, то мы сократили бы его до $$\frac{1}{2}$$.

Умножение дробей

Общее правило умножения дробей выглядит следующим образом: $$a/b·c/d=\left(a·c\right)/\left(b·d\right)$$ Для умножения дробей следует выполнить 4 шага:

1. Сначала следует по возможности упростить дроби, сократив их. Разделить числитель (число вверху) и знаменатель (число внизу) на их наибольший общий делитель (НОД). НОД множества чисел представляет собой наибольшее число, которое может делиться на все числа множества без остатка. Например, $$3$$ — наибольшее число, на которое можно разделить $$3$$ и $$9$$, поэтому мы можем разделить числитель и знаменатель $$\frac{3}{9}$$ на $$3$$, чтобы сократить дробь до $$\frac{1}{3}$$. Еще один пример — дробь $$\frac{4}{16}$$, которую можно сократить до $$\frac{1}{4}$$.


2. Умножить числители (числа вверху). Так, $$\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}$$ становится $$6/\left(3*5\right)$$


3. Умножить знаменатели (числа внизу). Так, $$6/\left(3*5\right)$$ становится $$\frac{6}{15}$$.


4. Упростить полученную дробь, сократив по возможности согласно инструкции в шаге 1. Если результат был $$\frac{4}{8}$$, то мы сократили бы его до $$\frac{1}{2}$$.

Деление дробей

Операция деления дробей очень похожа на их умножение, но включает дополнительный шаг: мы меняем местами числитель и знаменатель делителя, то есть числа, на которое будем делить другую дробь, чтобы найти обратную ему величину. Далее мы просто перемножаем дроби. Общее правило деления дробей выглядит следующим образом: $$\left(a/b\right):\left(c/d\right)=\left(a/b\right)·\left(d/c\right)=\left(a·d\right)/\left(b·c\right)$$ Для деления дробей следует выполнить 5 шагов:

1. Сначала следует по возможности упростить дроби, сократив их. Разделить числитель (число вверху) и знаменатель (число внизу) на их наибольший общий делитель (НОД). НОД множества чисел представляет собой наибольшее число, которое может делиться на все числа множества без остатка. Например, $$3$$ — наибольшее число, на которое можно разделить $$3$$ и $$9$$, поэтому мы можем разделить числитель и знаменатель $$\frac{3}{9}$$ на $$3$$, чтобы сократить дробь до $$\frac{1}{3}$$. Еще один пример — дробь $$\frac{4}{16}$$, которую можно сократить до $$\frac{1}{4}$$.


2. Перевернуть дробь, на которую мы делим (делитель), чтобы ее числитель оказался внизу, а знаменатель — вверху. Так, $$\frac{3}{4}:\frac{1}{3}$$ становится $$\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{1}$$.
   
3. Умножить числители (числа вверху). Так, $$\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}$$ становится $$6/\left(3*5\right)$$


4. Умножить знаменатели (числа внизу). Так, $$6/\left(3*5\right)$$ становится $$\frac{6}{15}$$.


5. Упростить полученную дробь, сократив по возможности согласно инструкции в шаге 1. Если результат был $$\frac{4}{8}$$, то мы сократили бы его до $$\frac{1}{2}$$.