Калькулятор Tiger Algebra

Нормальное распределение
Нормальное распределение (также известное как распределение Гаусса или Гаусса-Лапласа, или колокол) - это вероятностное распределение, которое связывает накопительную вероятность с случайной величиной $$X$$. Центр нормального распределения всегда расположен в среднем, вокруг которого распределение полностью симметрично.



Обозначения
Статистики обычно используют заглавные буквы для обозначения случайных величин и строчные буквы для обозначения их значений. Например:

• $$x$$ - это значение случайной величины $$X$$.
• $$x$$ обозначает вероятность $$P\left(X\right)$$.
• $$P\left(X=x\right)$$ обозначает вероятность, что случайная величина $$X$$ равна конкретному значению $$x$$. Например, $$P\left(X=1\right)$$ обозначает вероятность того, что случайная величина $$X$$ равна $$1$$.

Другие примеры
$$P\left(30<X\right)$$: Какова вероятность того, что $$X$$ больше, чем $$30$$?
$$P\left(X<80\right)$$: Какова вероятность того, что $$X$$ меньше, чем $$80$$?
$$P\left(30<X<80\right)$$: Какова вероятность того, что $$X$$ находится между $$30$$ и $$80$$?
$$P\left(30>X>80\right)$$: Какова вероятность того, что $$X$$ больше, чем $$80$$ и меньше, чем $$30$$?

Параметры нормального распределения
Среднее значение и стандартное отклонение - это два основных параметра нормального распределения. Они определяют форму распределения и вероятности.

Среднее значение
$$\mu$$ или $$x̅$$
Среднее значение - это место расположения центра и пика распределения, что означает, что любые изменения среднего перемещают кривую распределения влево или вправо по оси x. Большинство точек данных (значений) расположены вокруг средней величины.

Стандартное отклонение
$$\sigma$$ или $$s$$
Стандартное отклонение измеряет, насколько далеко точки данных от среднего значения распределения. Оно определяет ширину нормального распределения. Большее стандартное отклонение приводит к краткосрочным, широким кривым, а меньшее стандартное отклонение приводит к более высоким, узким кривым.

Свойства нормального распределения

1. Оно симметрично
   Нормальное распределение абсолютно симметрично, что означает, что кривая распределения может быть сложена посередине, вдоль среднего значения, для получения двух идентичных половин. Эта симметричная форма является результатом того, что одна половина наблюдений падает с каждой стороны кривой.
2. Среднее, медиана и мода равны
   Поскольку нормальное распределение симметрично, его центр представляет среднее или среднее значение всех точек данных. Это означает, что его медиана (значение посредине набора при упорядочении его значений от меньшего к большему) также находится в центре распределения и равна средней величине. Пик, самая высокая точка кривой нормального распределения, также случайно находится в центре графика, что означает, что мода распределения, его наиболее часто встречающееся значение и, следовательно, самая высокая точка на графике, также находится в центре распределения. Эти данные нормального распределения представляют точки данных (значения), которые встречаются. Среднее значение является центром распределения, потому что среднее значение - это точка, которая встречается наиболее часто. Середина также является точкой, где падают эти три меры. Меры обычно равны в совершенно (нормальном) распределении. Половина населения меньше среднего, а половина больше среднего.
3. Эмпирическое правило
   Также называется правило 68-95-99.7. Эмпирическое правило описывает процент данных, которые попадают в определенное количество стандартных отклонений от среднего для колоколообразных кривых.
   
   В нормально распределенных данных есть постоянная пропорция расстояния, лежащая под кривой между средним значением и определенным количеством стандартных отклонений от среднего. Эмпирическое правило позволяет вам определить пропорцию значений, которые падают на определенные расстояния от среднего.
   
   68.25% всех случаев попадают в пределы +/- одного стандартного отклонения от среднего.
   95% всех случаев попадают в пределы +/- двух стандартных отклонений от среднего.
   99.7% всех случаев попадают в пределы +/- трех стандартных отклонений от среднего.
   
   

Стандартное нормальное распределение

Стандартное нормальное распределение - это особый случай нормального распределения, где среднее значение равно нулю, а стандартное отклонение равно одному. Это распределение также называется Z-распределением.



Обозначения

• $$z$$ - это "z-оценка" (стандартная оценка) - z-оценка показывает, насколько много стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
• $$\mu$$ (mu) - это среднее значение.
• $$\sigma$$ (сигма") - это стандартное отклонение.

Стандартные оценки

Значение на стандартном нормальном распределении называется стандартной оценкой или z-оценкой. Оно представляет количество стандартных отклонений выше или ниже среднего, которые попадают под конкретное наблюдение.
Например, стандартная оценка $$1.5$$ указывает, что наблюдение находится на $$1.5$$ стандартных отклонений выше среднего. Отрицательная стандартная оценка представляет значение ниже среднего. Среднее значение имеет z-оценку $$0$$.
Более 99.9% всех случаев попадают в пределы +/- 3.9 стандартных отклонений от среднего. Поэтому мы считаем вероятность любых данных с z-оценкой больше $$3.9$$ или меньше $$-3.9$$ равной 0%. Другими словами, мы считаем интервал между $$-3.9$$ и $$3.9$$ равным 100% стандартного нормального распределения.

Нахождение областей под кривой стандартного нормального распределения

Нормальное распределение является вероятностным распределением. Как и в любом вероятностном распределении, доля области, которая падает под кривую между двумя точками на графике вероятностного распределения, указывает на вероятность того, что значение попадет в этот интервал.
Площадь под кривой равна $$1$$, и это 100% распределения. $$1$$=100%.
Когда вы получаете z-оценку, вы можете найти область до него, посмотрев на таблицу стандартного нормального распределения. Это также называется таблицей z-оценок. (ссылка на таблицу появится в ближайшее время)
Поскольку таблица z-оценок показывает область до значения z-оценки, когда вы хотите найти вероятность данных с большими z-оценками, вам нужно вычесть число из таблицы из $$1$$. Это можно показать как правило:
$$P\left(z>a\right)=1-P\left(z<a\right)$$
Когда мы не находим идеальную z-оценку в таблице, мы выбираем самую ближнюю. Если 2 ближайшие z-оценки находятся на одинаковом расстоянии от нашей желаемой z-оценки, мы вычисляем их среднее значение.

Другие примеры
$$P\left(0.15<z\right)$$ - Какова вероятность данных с z-оценкой, которая больше $$0.15$$?
$$P\left(z<2.92\right)$$ - Какова вероятность данных с z-оценкой, которая меньше $$2.92$$?
$$P\left(0.15<z<2.92\right)$$ - Какова вероятность данных с z-оценкой, которая находится между $$0.15$$ и $$2.92$$?
$$P\left(0.15>z>2.92\right)$$ - Какова вероятность данных с z-оценкой, которая больше $$2.92$$ и меньше $$0.15$$?

Стандартизация

Вычисление z-оценок
Стандартные оценки - отличный способ понять, где конкретное наблюдение попадает относительно всего нормального распределения. Они также позволяют вам брать наблюдения, взятые из нормально распределенных популяций с разными средними значениями и стандартными отклонениями, и размещать их на стандартной шкале. После стандартизации ваших данных вы можете разместить их в пределах стандартного нормального распределения.
Таким образом, стандартизация позволяет вам сравнивать различные типы наблюдений на основе того, где каждое наблюдение попадает в пределах своего распределения.
Чтобы вычислить стандартную оценку для наблюдения, возьмите исходное измерение, вычтите среднее значение и разделите на стандартное отклонение. Математически формула для этого процесса выглядит следующим образом:
$$z=\left(x-\mu \right)/\sigma$$
$$x$$ представляет исходное значение измерения интересующей вас величины. Это значение, которое будет стандартизировано - иногда его называют точкой данных.
$$\mu$$ (Мю) и $$\sigma$$ (сигма) представляют параметры популяции, из которой было получено наблюдение.

Другие связанные термины

Скошенность
Скошенность относится к искажению или асимметрии, которые отклоняются от симметричного колокола, или нормального распределения, в наборе данных. Если кривая смещена влево или вправо, говорят, что она скошена. Скошенность может быть количественно выражена как отображение степени, в которой данное распределение отличается от нормального распределения. Скошенность дифференцирует крайние значения в одном или другом хвосте. Нормальное распределение имеет скошенность ноль.

Эксцесс
Эксцесс измеряет крайние значения в любом хвосте. Распределения с большим эксцессом показывают данные хвоста, превышающие хвосты нормального распределения. Распределения с низким эксцессом показывают данные хвоста, которые в целом менее экстремальны, чем хвосты нормального распределения. Эксцесс - это мера совокупного веса хвостов распределения по отношению к центру распределения. Когда набор данных, примерно нормальных, графически представлен через гистограмму, он показывает колоколообразный пик и большинство данных в пределах трех стандартных отклонений (плюс или минус) от среднего значения. Однако при наличии высокого эксцесса хвосты распространяются дальше, чем три стандартных отклонения нормального колоколообразного распределения.