Калькулятор Tiger Algebra

Логарифмы отвечают на вопрос: «В какую степень следует возвести данное число, чтобы превратить его в другое заданное число?». Или проще говоря: «Сколько раз нужно умножить число на само себя, чтобы получить другое заданное число?» Например: В какую степень нужно возвести $$3$$, чтобы получить $$81$$? Или сколько раз необходимо умножить $$3$$ само на себя, чтобы получить $$81$$? Ответ — $$4$$. Таким образом, уравнение в этой задаче выглядит так: $$lo{g}_{3}81=4$$. Словами это будет звучать так: «логарифм числа $$81$$ по основанию $$3$$ равен $$4$$, или логарифм по основанию $$3$$ от $$81$$ равен $$4$$.

Число, умножаемое само на себя, называется основанием логарифма. В нашем примере основанием логарифма является число $$3$$.
Число между основанием и знаком = называется аргументом. Оно получается в результате возведения основания логарифма ($$3$$) в степень, равную решению уравнения ($$4$$). В нашем примере аргументом является число $$81$$.
Решение логарифма — показатель степени, в которою необходимо возвести основание логарифма, чтобы получить аргумент логарифма. В нашем примере решением является число $$4$$.

Логарифм, записанный без основания, обычно имеет основание $$10$$ и называется десятичным. Кнопка логарифма на калькуляторе вычисляет десятичный логарифм. Например, $$log\left(100\right)=lo{g}_{10}\left(100\right)=2$$.
Натуральные логарифмы обозначаются ln и представляют собой логарифмы с основанием e. В этом контексте e является числом Эйлера, иррациональным числом, приблизительно равным 2,7182. Натуральный логарифм можно вычислить на калькуляторе нажатием кнопки ln.
Логарифмы могут быть положительными или отрицательными и включать десятичные числа.

Свойства логарифмов с одним и тем же основанием:

Правило произведения: $$lo{g}_a\left(x\right)+lo{g}_a\left(y\right)=lo{g}_a\left(x·y\right)$$
Правило частного: $$lo{g}_a\left(x\right)-lo{g}_a\left(y\right)=lo{g}_a\left(x/y\right)$$
Правило степени: $$lo{g}_a\left(x^b\right)=b·lo{g}_a\left(x\right)$$
Правило обратной величины: $$-lo{g}_a\left(x\right)=lo{g}_a\left(1/x\right)$$
Правило равенства: если $$lo{g}_a\left(x\right)=lo{g}_a\left(y\right)$$, то $$x=y$$


Изменение свойств основания:

$$lo{g}_a\left(x\right)=lo{g}_b\left(x\right)/lo{g}_b\left(a\right)$$

$$lo{g}_a\left(x\right)=1/lo{g}_x\left(a\right)$$


Взаимосвязь между логарифмами, показателями степени и корнями:
Если записать показательное уравнение три раза, каждый раз заменяя какое-либо из значений переменной, получилось бы три разных, но тесно взаимосвязанных уравнения.
Рассмотрим показательное уравнение: $$3^4=81$$.

Сценарий 1: замена решения на переменную
Замена решения на $$x$$ дала бы нам $$3^4=x$$, что упрощенно выглядит как $$x=81$$

Сценарий 2: замена показателя степени на переменную
Замена показателя степени на $$x$$ дала бы нам $$3^x=81$$, что является логарифмическим уравнением, которое можно перезаписать как $$lo{g}_3\left(81\right)=x$$ и упростить до $$x=4$$

Сценарий 3: замена основания на переменную
Замена основания на $$x$$ дала бы нам $$x^4=81$$, что можно перезаписать как $$\sqrt[4]{81}=x$$ и упростить до $$x=3$$