Калькулятор Tiger Algebra

Комбинация — это расположение элементов множества, порядок которого не имеет значения. Например, выбор трех случайных чисел из девяти. При этом не важно, выберете ли вы $$1$$, $$7$$ и $$4$$ или $$7$$, $$1$$ и $$4$$.
Перестановка — это расположение элементов множества, порядок которого имеет значения. Например, код замка. Если код состоит из $$1,7,4$$, то его нельзя вводить как $$1,4,7$$ или $$4,7,1$$ или в любом другом порядке.
Если множество содержит более одного элемента, перестановок всегда больше, чем комбинаций.

Комбинации и перестановки могут иметь повторения или встречаться без них, то есть они либо содержат один/несколько повторяющихся элементов, либо нет. Наличие повторяющихся элементов множества довольно серьезно меняет наш подход к нему.

Обозначения
$$n$$ обычно обозначает общее количество элементов множества.
$$k$$ обычно обозначает количество элементов в выбранном подмножестве.
$$C$$ обычно обозначает комбинации.
$$P$$ обычно обозначает перестановки.

$$P\left(n,k\right)$$ обозначает количество перестановок подмножества ($$k$$) из большего множества ($$n$$) и может быть также записано как:
ОТСУТСТВУЕТ ИЗОБРАЖЕНИЕ
$$C\left(n,k\right)$$ обозначает количество комбинаций подмножества ($$k$$) из большего множества ($$n$$) и может быть также записано как:
ОТСУТСТВУЕТ ИЗОБРАЖЕНИЕ
Это обозначение также иногда называют «n выбирает k».

Формулы
При работе с перестановками и комбинациями мы используем функцию факториала.

Перестановки с повтором
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
Пример: Сколько имеется перестановок подмножества $$3$$ из всего $$9$$ элементов при наличии повторений?
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$

Перестановки без повторения
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
Пример: Сколько имеется перестановок подмножества $$3$$ из всего $$9$$ элементов при отсутствии повторений?
$$P\left(9,3\right)=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

Комбинации с повтором
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
Пример: Сколько имеется комбинаций подмножества $$3$$ из всего $$9$$ элементов при наличии повторений?
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

Комбинации без повтора ссылка на эту задачу
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
Пример: Сколько имеется комбинаций подмножества $$3$$ из всего $$9$$ элементов при отсутствии повторений?
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$